Niech [math]a,b[/math] będą dowolnymi elementami (zbiorami). Przez parę uporządkowaną [math]\left( a,b\right)[/math] rozumiemy zbiór [math]\left\{ \left\{ a\right\},\left\{ a,b\right\} \right\}.[/math]
Uwaga: [math]\left( a,a\right) =\left\{ \left\{ a\right\},\left\{ a,a\right\} \right\}=\left\{ \left\{ a\right\},\left\{ a \right\}\right\}=\left\{ \left\{ a\right\} \right\}.[/math]
Twierdzenie 1. Dla dowolnych [math]a,b,c,d[/math], mamy:
[math]\left( a,b\right)=\left( c,d\right) \Longleftrightarrow \left\{ \left\{ a\right\},\left\{ a,b\right\} \right\}=\left\{ \left\{ c\right\},\left\{ c,d\right\} \right\}\Longleftrightarrow a=c \wedge b=d.[/math]
Oczywiście pierwsza równoważność to tylko zastosowanie definicji, interesuje nas druga równoważność, a w zasadzie implikacja [math]\Longrightarrow[/math].
Dowód: Załóżmy zatem, że [math]\left\{ \left\{ a\right\},\left\{ a,b\right\} \right\}=\left\{ \left\{ c\right\},\left\{ c,d\right\} \right\}.[/math]
Mamy [math]\left\{ a\right\} \in \left\{ \left\{ a\right\},\left\{ a,b\right\} \right\}[/math], więc [math]\left\{ a\right\} \in \left\{ \left\{ c\right\},\left\{ c,d\right\} \right\}[/math], a więc [math]\left\{ a\right\}=\left\{ c\right\}[/math] lub [math]\left\{ a\right\}=\left\{ c,d\right\}[/math]. W pierwszym przypadku [math]a=c[/math], ale w drugim również jest tak, mamy bowiem, z zasady równości zbiorów , że [math]c \in \left\{a\right\}[/math], a więc [math]c=a[/math]. Wiemy już, ze pierwsze współrzędne równych par są równe:
[math]\left( a,b\right)=\left( a,d\right)[/math]
Dalej przeprowadzimy dowód przez rozważenie przypadków.
Jeżeli [math]a=b[/math], to [math]\left( a,b\right)=\left( a,a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} \right\}[/math], zatem [math]\left( a,d\right)=\left( a,b\right)=\left\{ \left\{ a\right\} \right\}[/math], więc ponieważ [math]\left( a,d\right)=\left\{ \left\{ a\right\},\left\{ a,d\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} \right\}[/math], to z zasady równości zbiorów [math]\left\{ a,d\right\} \in \left\{ \left\{ a\right\} \right\}[/math], a więc [math]\left\{ a,d\right\}=\left\{ a\right\}[/math] , i dalej podobnie [math]d=a=b[/math], czyli [math]d=b[/math], co należało pokazać.
W przeciwnym przypadku, gdy [math]a \neq b[/math], to wtedy [math]\left( a,b\right)=\left\{ \left\{ a\right\},\left\{ a,b\right\} \right\}=\left( a,d\right)=\left\{ \left\{ a\right\},\left\{ a,d\right\} \right\}[/math]. Ponieważ [math]\left\{ a,b\right\} \in \left\{ \left\{ a\right\},\left\{ a,b\right\} \right\}[/math], więc [math]\left\{ a,b\right\} \in \left( a,d\right)=\left\{ \left\{ a\right\},\left\{ a,d\right\} \right\}[/math]. Daje to dwie możliwości: albo [math]\left\{ a,b\right\}=\left\{ a\right\}[/math], co prowadzi do [math]b=a[/math]-sprzeczność. Musi więc zajść drugi przypadek [math]\left\{ a,b\right\} =\left\{ a,d\right\}[/math], co daje [math]b\in \left\{ a,d\right\}[/math], i ponieważ [math]b \neq a[/math] to [math]b=d[/math], co należało pokazać.
Dowód [math]\Longleftarrow[/math] jest oczywisty, teza wynika wprost z założeń i zasady równości zbiorów.[math]\square[/math]
