Aksjomaty teorii mnogości

Aksjomatyczna teoria mnogości powstała jako odpowiedź na paradoksy powstające w teorii

naiwnej. Poza tym dzięki temu pojęcie zbioru jest bardziej ścisłe. Słowo aksjomat, z

greckiego pochodzenia oznacza tezę, która jest oczywista i nie potrzebuję dowodu. Aksjomaty

teorii mnogości, to podstawowe prawdy odnośnie zbiorów, a także podstawy naszej teorii-

przyjmujemy je bez dowodów, i w oparciu o nie wyprowadzamy bardziej złożone fakty.

Zakładamy, że istnieje jakiś zbiór, chociaż jeden.

Zakładamy, że jedynymi rozważanymi obiektami są zbiory. To może wydawać się dziwne ( bo

przecież w matematyce są punkty chociażby, i inne obiekty); ale przekonamy się, że wszystkie

te podstawowe obiekty matematyczne dadzą się przedstawić jako zbiory. Po co? Gdybyśmy

rozważali obiekty niebędące zbiorami (urelementy), to zbiory mogłyby być tworzone z tych

urelementów, ale również ze zbiorów. Wtedy wypowiedź: [math]X[/math] jest dowolnym zbiorem-

byłaby mniej precyzyjna. A tak, dowolny zbiór- jest to dowolny obiekt naszej teorii, i jest

to ścisłe. Zauważmy, że to nasze założenie oznacza, że elementy zbiorów, są również

zbiorami. Później może napiszę o klasach, będą to skupiska zbiorów( znowu), tak duże, że nie

tworzą zbioru, nazwiemy je klasami. Tak, w aksjomatycznej teorii mnogości już nie każda

kolekcja elementów (zbiorów) jest zbiorem- np. nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów.

Także dowolny [math]x[/math], jest to dowolny byt naszej teorii, zgodnie z powyższym, jest

to też dowolny zbiór, ale jest to też rodzina zbiorów- bo, ponieważ jedynymi rozważanymi

obiektami są zbiory, więc elementy zbiorów, są także zbiorami, a więc zbiór może być

traktowany jako rodzina zbiorów. Niemniej, zawsze będziemy tak pisać, jaka jest istota

rzeczy w danym momencie - choć formalnie jest to dowolny [math]x[/math], i tym samym zbiór.

Najpierw podajmy aksjomaty związane z równością.

Zakładamy aksjomaty:

[math]1. \ a=a. \\ 2. \ a=b \longrightarrow b=a. \\ 3. \ a=b \wedge b=c \longrightarrow a=c. \\ [/math] I przede wszystkim [math]\\[/math]

Dla dowolnych [math]x,y[/math], oraz dowolnego zbioru [math]X[/math], zakładamy, że:

[math] 4. \ \left( y=x \wedge x\in X \longrightarrow y\in X\right)[/math].

Ostatni aksjomat mówi, że jeśli element [math]x[/math] jest elementem zbioru [math]X[/math],

to ten sam element ([math]y=x[/math]), również jest elementem zbioru [math]X[/math].

Przechodzimy do aksjomatów bardziej mnogościowych. Najpierw podamy aksjomat równości

zbiorów.

Aksjomat równości zbiorów:

Zakładamy, że następująca formuła jest prawdą:

[math]A=B \Longleftrightarrow \bigwedge\limits_{x} \left( x\in A \Longleftrightarrow x\in B\right)[/math].

Czyli dwa zbiory [math]A, B[/math] są równe (takie same), gdy dla dowolnego elementu [math]x[/math]- [math]x[/math] jest w [math]A[/math], dokładnie wtedy,. gdy [math]x[/math] jest w [math]B[/math], czyli gdy zbiory [math]A, B[/math] mają takie same elementy. Podobnie definiujemy zawieranie, czyli inkluzję zbiorów:

[math]A \subset B \Longleftrightarrow \bigwedge\limits_{x} \left( x\in A \Longrightarrow x\in B \right)[/math].

Czyli zbiór [math]A[/math] zawiera się w zbiorze [math]B[/math], gdy każdy element zbioru [math]A[/math] jest elementem zbioru [math]B[/math]. Mówimy wtedy też, że [math]A[/math] jest podzbiorem [math]B[/math]. Możemy też zdefiniować:

[math]A\supset B\Longleftrightarrow B \subset A[/math].

Czyli zbiór [math]A[/math] jest nadzbiorem zbioru [math]B[/math], gdy [math]B[/math] jest podzbiorem [math]A[/math].

Poniższe twierdzenie mówi, że dwa zbiory są równe, gdy pierwszy z nich jest podzbiorem drugiego, a drugi jest podzbiorem pierwszego.

Twierdzenie 1.1

Dla dowolnych zbiorów [math]A ,B[/math] mamy: [math]A=B\Longleftrightarrow A \subset B \wedge B \subset A[/math] .

Dowód: Niech [math]A,B[/math] będą dowolnymi zbiorami. Wtedy:

[math]\left( A \subset B \wedge B \subset A\right)\Longleftrightarrow \left( \bigwedge\limits_{x} \left( x\in A \Longrightarrow x\in B \right) \wedge \bigwedge\limits_{x} \left( x\in B \Longrightarrow x\in A \right)\right) \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow \bigwedge\limits_{x} \left( \left( x\in A \Longrightarrow x\in B \right) \wedge \left( x\in B \Longrightarrow x\in A \right) \right) \Longleftrightarrow \bigwedge\limits_{x} \left( x\in A \Longleftrightarrow x\in B \right) \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow A=B.[/math]

Słowami: jeśli [math]A\subset B[/math] i [math]B\subset A[/math], to każdy element [math]A[/math] jest elementem [math]B[/math]; i każdy element [math]B[/math] jest elementem [math]A[/math]; czyli zbiory [math]A, B[/math] mają takie same elementy, a więc są równe.

Następne twierdzenie mówi o przechodniości inkluzji.

Twierdzenie 1.2.

Dla dowolnych zbiorów [math]A ,B, C[/math], mamy: [math]A \subset B \wedge B \subset C \longrightarrow A \subset C[/math] .

Bardzo prosty dowód:

Niech [math]A,B,C[/math] będą dowolnymi zbiorami, takimi, że [math]A\subset B[/math] i [math]B\subset C[/math]. Pokażemy, że [math]A\subset C[/math]. Niech [math]x\in A[/math]. Wtedy [math]x\in B[/math],( bo [math]A\subset B[/math]), i dalej [math]x\in C[/math], (bo [math]B\subset C[/math]). Wobec dowolności wyboru elementu [math]x[/math], oznacza to, że [math]A\subset C[/math]. [math]\square[/math]

Następny aksjomat gwarantuje istnienie zbioru pustego.

Aksjomat zbioru pustego:

Zakładamy, że następująca wypowiedź, zwana aksjomatem zbioru pustego, jest prawdziwa:

Istnieje zbiór nie posiadający elementów, tzn. taki zbiór [math]P[/math], że: dla dowolnego [math]x[/math]: [math]x\not\in P.[/math]

Każdy taki zbiór [math]P[/math] nazywamy zbiorem pustym. Aksjomat zbioru pustego mówi więc, że istnieje taki zbiór pusty bez elementów. Teraz pokażemy, że istnieje co najwyżej jeden zbiór pusty, czyli:

Twierdzenie 2.1.

Dowolne dwa zbiory puste są równe.

Dowód: Weźmy dwa zbiory puste, i pokażmy, że są równe. Dwa zbiory są równe, jeśli dowolny element należy do obu z nich równocześnie, albo do żadnego z tych dwóch zbiorów. Weźmy dowolny element [math]x[/math]. Element ten nie należy do pierwszego zbioru, ( bo jest on pusty), i ten [math]x[/math] nie należy do drugiego zbioru, ( bo on też jest pusty). Z dowolności wyboru elementu [math]x[/math], wnioskujemy, że zbiory są równe.[math]\square[/math]

Aksjomat zbioru pustego głosi, że istnieje co najmniej jeden zbiór pusty. My pokazaliśmy, że dowolne dwa zbiory puste są równe, w związku z czym zbiór pusty jest dokładnie jeden. Oznaczamy go [math]\left\{ \right\}[/math], lub czasem dla czytelności [math]\emptyset[/math].

Kolejny fakt mówi, że zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru, tzn.:

Fakt 2.2. Dla dowolnego zbioru [math]A[/math], mamy: [math]\left\{ \right\} \subset A[/math].

Dowód: Weźmy dowolny zbiór [math]A[/math]. Zgodnie z definicją inkluzji na zbiorach, należy pokazać, że:

[math]\bigwedge\limits_{x} \left( x\in \left\{ \right\} \Longrightarrow x\in A \right)[/math].

Ale dla dowolnego ustalonego [math]x[/math], warunek [math]x\in \left\{ \right\}[/math] jest fałszem, wobec czego cała implikacja jest prawdziwa. Z dowolności wyboru [math]x[/math] oznacza to, że [math]\left\{ \right\} \subset A[/math], co należało pokazać.

Podobnie można uzasadnić, że:

Fakt 2.3. Dla dowolnego zbioru [math]A[/math], mamy: [math]A \subset A[/math].

Czyli, że każdy zbiór jest podzbiorem swoim własnym. Mówimy wtedy, że zbiór jest podzbiorem niewłaściwym (nieistotnym) samego siebie. Bardzo prosty dowód tego faktu, pozostawimy czytelnikowi.

Następny aksjomat gwarantuje istnienie zbiorów jedno- i dwuelementowych.

Aksjomat pary:

Zakładamy, że poniższa wypowiedź, zwana aksjomatem pary, jest prawdą:

Dla dowolnych [math]x, y[/math], istnieje zbiór [math]\left\{ x, y\right\}[/math], tzn. zbiór którego elementami są dokładnie [math]x[/math] i [math]y[/math].

Dla dowolnych [math]x, y[/math], a więc gdy mamy dwa elementy [math]x,y[/math], to istnieje zbiór [math]\left\{ x, y\right\}[/math], a więc możemy utworzyć zbiór [math]\left\{ x, y\right\}[/math]. Aksjomat ten mówi więc, że jeśli mamy dwa elementy [math]x[/math] i [math]y[/math], to możemy utworzyć zbiór [math]\left\{ x, y\right\}[/math]. W przypadku, gdy [math]x=y[/math], zbiór [math]\left\{ x, x\right\}[/math] oznaczamy jako [math]\left\{ x\right\}[/math] (zbiór [math]\left\{ x, x\right\}[/math] ma jeden element- [math]x[/math] ).

Wniosek 3.1. - istnieje 'nieskończenie' wiele zbiorów.

Wiemy, że istnieje zbiór pusty- jest to dokładnie jeden zbiór, nieposiadający elementów, oznaczmy go tym razem [math]\emptyset[/math]. Na mocy aksjomatu pary możemy skonstruować zbiór jednoelementowy [math]\left\{ \emptyset\right\}[/math], różny od zbioru pustego. Możemy zastosować ten pomysł jeszcze raz, i utworzyć [math]\left\{ \left\{ \emptyset\right\}\right\}[/math]- zbiór jednoelementowy złożony z poprzedniego zbioru, jako elementu. Przy czym, to jest zbiór różny od poprzednich zbiorów. Tą operacje można powtarzać dowolną ilość razy, tworząc 'nieskończoną' ilość zbiorów. Przy czym, już te same zbiory, nie są więcej niż jednoelementowe.

Następny aksjomat pozwala utworzyć sumę dwóch zbiorów.

Aksjomat sumy dwóch zbiorów:

Zakładamy, że poniższa wypowiedź jest prawdziwa:

Dla dowolnych zbiorów [math]A, B[/math], istnieje zbiór [math]A \cup B[/math], tzn. zbiór

którego elementami są dokładnie wszystkie elementy zbioru [math]A[/math], oraz wszystkie

elementy zbioru [math]B[/math].

Dla dowolnych zbiorów [math]A, B[/math], a więc gdy mamy dwa zbiory [math]A, B[/math], to

istnieje zbiór [math]A \cup B[/math], a więc możemy utworzyć zbiór [math]A \cup B[/math]-

sumę mnogościową zbiorów [math]A[/math] i [math]B[/math].

Aksjomat ten mówi więc, że dla dwóch zbiorów, możemy utworzyć ich sumę mnogościową. [math]x \in A \cup B\Longleftrightarrow x \in A \vee x \in B.[/math]

Wniosek 4.1.- istnieją dowolne zbiory skończone.

Na podstawie aksjomatu zbioru pustego istnieje zbiór zeroelementowy, na podstawie aksjomatu

pary istnieje dowolny zbiór jedno- i dwuelementowy.

Aby wykazać, że dla dowolnych [math]a,b,c[/math]. istnieje zbiór [math]\left\{ a,b,c\right\}[/math], zbiór ten definiujemy jako: [math]\left\{ a,b,c\right\}=\left\{ a, b\right\} \cup \left\{ c\right\}[/math] . Skoro mamy dowolny zbiór 3-elementowy, to dowolny

zbiór 4-elementowy, określamy jako:

[math]\left\{ a,b,c,d\right\}=\left\{ a, b,c\right\} \cup \left\{ d\right\}[/math]. Itd.-

następnie zbiór 5-elementowy, itd.

Następne twierdzenie mówi o podstawowych własnościach sumy dwóch zbiorów:

Twierdzenie. 4.2. Dla dowolnych zbiorów [math]A,B[/math], mamy:

[math]1. \ A \cup B=B \cup A. \\ 2. \ A \subset A \cup B. \\ 3. \ B \subset A \cup B. \\ 4. \ A \cup A=A. \\ 5. \ A \cup \left\{ \right\} =A.[/math]

Bardzo prosty dowód tego twierdzenia pozostawimy czytelnikowi. Dowód korzysta z określenia

równości zbiorów / inkluzji, definicji sumy dwóch zbiorów, oraz z prostych praw rachunku

zdań.

Przyjmiemy aksjomat ogólniejszy, dotyczący sumy dowolnej rodziny zbiorów.

Aksjomat sumy:

Zakładamy, że poniższa wypowiedź, zwana aksjomatem sumy, jest prawdą:

Dla dowolnej rodziny zbiorów [math] \mathbb{X} [/math], istnieje zbiór [math] \bigcup \mathbb{X} [/math] , tzn. zbiór, którego elementami są dokładnie wszystkie elementy

wszystkich elementów [math]\mathbb{X}[/math].

Jeśli mamy zbiór zbiorów [math]\mathbb{X}[/math], ( rodzinę zbiorów), to [math]\bigcup \mathbb{X}[/math]- suma tej rodziny zbiorów, to nowy zbiór, którego elementami są

dokładnie elementy elementów [math]\mathbb{X}[/math].

Suma mnogościowa

Jeśli [math]\mathbb{X}=\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4} \right\}[/math]. to [math]\bigcup \mathbb{X}[/math], to zbiór złożony z wszystkich elementów [math]A_{1}[/math], oraz

wszystkich elementów [math]A_{2}[/math], oraz wszystkich elementów [math]A_{3}[/math], oraz

wszystkich elementów [math]A_{4}[/math]- i tyle jego elementów. Sumowanie zbiorów należących

do [math]\mathbb{X}[/math]. Mówiąc prosto, mając zbiór zbiorów, tworzymy nowy zbiór, złożony z wszystkich elementów,

tych że zbiorów.

Więc aksjomat ten mówi, że jeśli mamy rodzinę zbiorów, to możemy utworzyć sumę tej rodziny

zbiorów.

Aksjomat równości zbiorów, zapewnia jednoznaczność tej operacji- dla dowolnej, ustalonej

rodziny zbiorów [math]\mathbb{X}[/math] istnieje dokładnie jeden zbiór [math]\bigcup \mathbb{X}[/math].- wniosek 5.1. Aby to udowodnić, weźmy dwa zbiory [math] \bigcup_{1} \mathbb {X}[/math], [math]\bigcup _{2} \mathbb {X}[/math], złożone dokładnie z

elementów elementów [math]\mathbb{X}[/math], i pokażmy, że są równe. Wtedy:

[math]x\in\bigcup _{1} \mathbb {X}\Longleftrightarrow x\in A\in \mathbb {X},[/math] przy pewnym zbiorze [math]A[/math].

[math]x\in\bigcup _{2} \mathbb {X}\Longleftrightarrow x\in B\in \mathbb {X},[/math] przy pewnym zbiorze [math]B[/math].

Zauważmy, że prawe strony tych równoważności są do siebie równoważne. Jeśli [math]x[/math]

jest elementem pewnego zbioru [math]A[/math], z rodziny [math]\mathbb {X}[/math], to

[math]x[/math] jest elementem pewnego zbioru [math]B[/math], z rodziny [math]\mathbb {X}[/math]- tzn., wystarczy przyjąć za zbiór [math]B=A[/math], i wtedy [math]x\in B=A\in \mathbb {X}[/math]. Analogicznie można uzasadnić, że jeśli [math]x[/math] jest elementem

pewnego zbioru [math]B[/math], z rodziny [math]\mathbb {X}[/math], to [math]x[/math] jest

elementem pewnego zbioru [math]A[/math], z rodziny [math]\mathbb {X}[/math]. A więc prawe

strony tych równoważności są do siebie równoważne, a więc również lewe strony są równoważne,

czyli [math]x\in\bigcup _{1} \mathbb {X}\Longleftrightarrow x\in\bigcup_{2} \mathbb {X}[/math], co daje [math]\bigcup_{1} \mathbb{X}=\bigcup_{2} \mathbb {X}[/math], co należało

pokazać. [math]\square[/math]

Kolejny fakt mówi, że suma pustej rodziny zbiorów jest zbiorem pustym.

Fakt 5.2.: [math]\bigcup \left\{ \right\} =\left\{ \right\}[/math].

Dowód: GDYBY [math]\bigcup \left\{ \right\} \neq \left\{ \right\}[/math], to istniałoby

[math]a\in \bigcup \left\{ \right\}[/math], a więc zgodnie z określeniem sumy rodziny

zbiorów [math]a\in A\in \left\{ \right\}[/math], dla pewnego zbioru [math]A[/math]. Widzimy

więc, że wtedy [math]A\in \left\{ \right\}[/math], a zbiór pusty nie posiada

elementów-sprzeczność. [math]\square[/math]

Kolejny fakt, jest nieco bardziej złożony:

Fakt 5.3.: [math]\bigcup \left\{ \emptyset\right\} =\emptyset[/math].

Dowód: GDYBY [math]\bigcup \left\{ \emptyset\right\} \neq \emptyset[/math], to istniałoby

[math]a\in \bigcup \left\{ \emptyset \right\}[/math], a więc zgodnie z określeniem sumy

rodziny zbiorów, [math]a\in A\in \left\{ \emptyset\right\}[/math], dla pewnego zbioru

[math]A[/math]. Ponieważ, jedynym zbiorem w rodzinie [math]\left\{ \emptyset\right\}[/math],

jest [math]\emptyset[/math], to [math]A=\emptyset[/math], i [math]a\in A=\emptyset[/math],

sprzeczność. [math]\square[/math]

Kolejny fakt jest uogólnieniem poprzedniego:

Fakt 5.4. Dla dowolnego zbioru [math]X[/math], mamy: [math]X=\bigcup \left\{ X\right\}[/math].

Dowód: Ustalmy dowolny zbiór [math]X[/math], oraz dowolne [math]x[/math]. Wtedy

[math]x\in\bigcup \left\{ X\right\}[/math], wtedy i tylko wtedy, gdy [math]x[/math] jest

elementem elementu [math]\left\{ X\right\}[/math]. Ponieważ, jedynym elementem [math]\left\{ X\right\}[/math], jest [math]X[/math], to ostatnie zdanie jest równoważne temu, że

[math]x\in X[/math]. Wobec dowolności [math]x[/math], otrzymujemy, że [math]X=\bigcup \left\{ X\right\}[/math], co należało pokazać.[math]\square[/math]

Następny fakt łączy sumę dwóch zbiorów z sumą rodziny zbiorów:

Fakt 5.5. Dla dowolnych zbiorów [math]A,B[/math], mamy: [math]\bigcup \left\{ A,B\right\} =A \cup B.[/math]

Dowód: W myśl twierdzenia 1.1., należy pokazać dwie inkluzje: [math]\bigcup \left\{ A,B\right\} \subset A \cup B[/math], i [math]\bigcup \left\{ A,B\right\} \supset A \cup B.[/math]

Aby pokazać pierwszą inkluzję, to niech [math]x\in \bigcup \left\{ A,B\right\}[/math].

Oznacza to, że [math]x[/math] jest elementem elementu [math]\left\{ A,B\right\}[/math]. Ale

rodzina [math]\left\{ A,B\right\}[/math] ma dwa elementy- zbiory [math]A,B[/math].

Wnioskujemy, że [math]x\in A[/math] lub [math]x\in B[/math], czyli [math]x\in A \cup B[/math], i [math]\bigcup \left\{ A,B\right\} \subset A \cup B.[/math].

Aby pokazać drugą inkluzję, to niech [math]x\in A\cup B[/math]. Oznacza to, że [math]x\in A[/math] lub [math]x\in B[/math]. Jeśli [math]x\in A[/math], to wtedy, ponieważ oczywiście

[math]A\in \left\{ A,B\right\}[/math], to [math]x[/math] jest elementem elementu

[math]\left\{ A,B\right\}[/math], i [math]x\in\bigcup \left\{ A,B\right\}[/math]. W

przeciwnym przypadku, jeśli [math]x\in B[/math], to podobnie czytelnik łatwo wykaże, że

również [math]x\in\bigcup \left\{ A,B\right\}[/math], w związku z czym [math]\bigcup \left\{ A,B\right\} \supset A \cup B.[/math]

Na mocy twierdzenia 1, otrzymujemy: [math]\bigcup \left\{ A,B\right\} =A \cup B. \square[/math]