Aksjomaty teorii mnogości

Zakładamy, że istnieje jakiś zbiór, chociaż jeden.

Zakładamy, że jedynymi rozważanymi obiektami są zbiory. To może wydawać się dziwne ( bo

przecież w matematyce są punkty chociażby, i inne obiekty); ale przekonamy się, że wszystkie

te podstawowe obiekty matematyczne dadzą się przedstawić jako zbiory. Po co? Gdybyśmy

rozważali obiekty niebędące zbiorami (urelementy), to zbiory mogłyby być tworzone z tych

urelementów, ale również ze zbiorów. Wtedy wypowiedź: [math]X[/math] jest dowolnym zbiorem-

byłaby mniej precyzyjna. A tak, dowolny zbiór- jest to dowolny obiekt naszej teorii, i jest

to ścisłe. Zauważmy, że to nasze założenie oznacza, że elementy zbiorów, są również

zbiorami. Później może napiszę o klasach, będą to skupiska zbiorów( znowu), tak duże, że nie

tworzą zbioru, nazwiemy je klasami.

Także dowolny [math]x[/math], jest to dowolny byt naszej teorii, zgodnie z powyższym, jest

to też dowolny zbiór, ale jest to też rodzina zbiorów- bo, ponieważ jedynymi rozważanymi

obiektami są zbiory, więc elementy zbiorów, są także zbiorami, więc zbiór może być

traktowany jako rodzina zbiorów. Niemniej, zawsze będziemy tak pisać, jaka jest istota

rzeczy w danym momencie - choć formalnie jest to dowolny [math]x[/math], i tym samym zbiór.

Zakładamy aksjomaty:

[math]a=a[/math], [math]a=b \longrightarrow b=a[/math], [math]a=b \wedge b=c \longrightarrow a=c[/math], i przede wszystkim

dla dowolnych [math]x,y[/math], oraz dowolnego zbioru [math]X[/math], zakładamy, że:

[math]\left( y=x \wedge x\in X \longrightarrow y\in X\right)[/math].

Ostatni aksjomat mówi, że jeśli element [math]x[/math] jest elementem zbioru [math]X[/math],

to ten sam element ([math]y=x[/math]), również jest elementem zbioru [math]X[/math].

Aksjomat równości zbiorów:

[math]A=B \Longleftrightarrow \bigwedge_{x} \left( x\in A \Longleftrightarrow x\in B\right)[/math].

Czyli dwa zbiory [math]A, B[/math] są równe (takie same), gdy dla dowolnego elementu

[math]x[/math]- [math]x[/math] jest w [math]A[/math], dokładnie wtedy,. gdy [math]x[/math]

jest w [math]B[/math], czyli gdy zbiory [math]A, B[/math] mają takie same elementy.

Podobnie definiujemy zawieranie, czyli inkluzję zbiorów:

[math]A \subset B \Longleftrightarrow \bigwedge_{x} \left( x\in A \Longrightarrow x\in B \right)[/math].

Czyli zbiór [math]A[/math] zawiera się w zbiorze [math]B[/math], gdy każdy element zbioru

[math]A[/math] jest elementem zbioru [math]B[/math]. Mówimy wtedy też, że [math]A[/math]

jest podzbiorem [math]B[/math].

[math]A\supset B\Longleftrightarrow B \subset A[/math]. Czyli zbiór [math]A[/math] jest

nadzbiorem zbioru [math]B[/math], gdy [math]B[/math] jest podzbiorem [math]A[/math].

Twierdzenie 1.

Dla dowolnych zbiorów [math]A ,B[/math] mamy: [math]A=B\Longleftrightarrow A \subset B \wedge B \subset A[/math] .

Dowód: Niech [math]A,B[/math] będą dowolnymi zbiorami. Wtedy:

[math]\left( A \subset B \wedge B \subset A\right)\Longleftrightarrow \left( \bigwedge_{x} \left( x\in A \Longrightarrow x\in B \right) \wedge \bigwedge_{x} \left( x\in B \Longrightarrow x\in A \right)\right) \Longleftrightarrow \bigwedge_{x} \left( \left( x\in A \Longrightarrow x\in B \right) \wedge \left( x\in B \Longrightarrow x\in A \right) \right) \Longleftrightarrow \bigwedge_{x} \left( x\in A \Longleftrightarrow x\in B \right) \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow A=B.[/math]

Słowami: jeśli [math]A\subset B[/math] i [math]B\subset A[/math], to każdy element

[math]A[/math] jest elementem [math]B[/math]; i każdy element [math]B[/math] jest elementem

[math]A[/math]; czyli zbiory [math]A, B[/math] mają takie same elementy, a więc są równe.

Twierdzenie 2.

Dla dowolnych zbiorów [math]A ,B, C[/math], mamy: [math]A \subset B \wedge B \subset C \longrightarrow A \subset C[/math] .

Bardzo prosty dowód:

Niech [math]A,B,C[/math] będą dowolnymi zbiorami, takimi, że [math]A\subset B[/math] i

[math]B\subset C[/math]. Pokażemy, że [math]A\subset C[/math].

Niech [math]x\in A[/math]. Wtedy [math]x\in B[/math], ( bo [math]A\subset B[/math]), i

dalej [math]x\in C[/math], ( bo [math]B\subset C[/math]). Wobec dowolności wyboru elementu

[math]x[/math], oznacza to, że [math]A\subset C[/math]. [math]\square[/math]

Aksjomat zbioru pustego:

Istnieje zbiór nie posiadający elementów, tzn. taki zbiór [math]P[/math], że:

dla dowolnego [math]x[/math]: [math]x\not\in P.[/math]

Każdy taki zbiór [math]P[/math]. nazywamy zbiorem pustym. Aksjomat zbioru pustego mówi więc,

że istnieje taki zbiór pusty bez elementów. Teraz pokażemy, że istnieje co najwyżej jeden

zbiór pusty, czyli:

Tw.3. Dowolne dwa zbiory puste są równe.

Dowód: Weźmy dwa zbiory puste, i pokażmy, że są równe. Dwa zbiory są równe, jeśli dowolny

element należy do obu z nich równocześnie, albo do żadnego z tych dwóch zbiorów. Weźmy

dowolny element [math]x[/math]. Element ten nie należy do pierwszego zbioru, ( bo jest on

pusty), i ten [math]x[/math] nie należy do drugiego zbioru, ( bo on też jest pusty). Z

dowolności wyboru elementu [math]x[/math], wnioskujemy, że zbiory są

równe.[math]\square[/math]

Aksjomat zbioru pustego głosi, że istnieje co najmniej jeden zbiór pusty. My pokazaliśmy, że

dowolne dwa zbiory puste są równe, w związku z czym zbiór pusty jest dokładnie jeden.

Oznaczamy go [math]\left\{ \right\}[/math], lub czasem dla czytelności

[math]\emptyset[/math].

Zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru, tzn.:

Tw.4. Dla dowolnego zbioru [math]A[/math], mamy: [math]\left\{ \right\} \subset A[/math].

Weźmy dowolny zbiór [math]A[/math]. Zgodnie z definicją inkluzji na zbiorach, należy

pokazać, że:

[math]\bigwedge_{x} \left( x\in \left\{ \right\} \Longrightarrow x\in A \right)[/math].

Ale dla dowolnego ustalonego [math]x[/math], warunek [math]x\in \left\{ \right\}[/math]

jest fałszem, wobec czego cała implikacja jest prawdziwa. Z dowolności wyboru [math]x[/math]

oznacza to, że [math]\left\{ \right\} \subset A[/math], co należało pokazać.

Podobnie można uzasadnić, że:

Tw.5. Dla dowolnego zbioru [math]A[/math], mamy: [math]A \subset A[/math].

Bardzo prosty dowód tego faktu, pozostawimy czytelnikowi.

Aksjomat pary:

Dla dowolnych [math]x, y[/math], istnieje zbiór [math]\left\{ x, y\right\}[/math], tzn.

zbiór którego elementami są dokładnie [math]x[/math] i [math]y[/math].

Dla dowolnych [math]x, y[/math], a więc gdy mamy dwa elementy [math]x,y[/math], to istnieje

zbiór [math]\left\{ x, y\right\}[/math], a więc możemy utworzyć zbiór [math]\left\{ x, y\right\}[/math].

Aksjomat ten mówi więc, że jeśli mamy dwa elementy [math]x[/math] i [math]y[/math], to

możemy utworzyć zbiór [math]\left\{ x, y\right\}[/math]. W przypadku, gdy [math]x=y[/math],

zbiór [math]\left\{ x, x\right\}[/math] oznaczamy jako [math]\left\{ x\right\}[/math] (

zbiór [math]\left\{ x, x\right\}[/math] ma jeden element- [math]x[/math] ).

Wniosek- istnieje 'nieskończenie' wiele zbiorów. Wiemy, że istnieje zbiór pusty- jest to

dokładnie jeden zbiór, nieposiadający elementów, oznaczmy go tym razem

[math]\emptyset[/math]. Na mocy aksjomatu pary możemy skonstruować zbiór jednoelementowy

[math]\left\{ \emptyset\right\}[/math], różny od zbioru pustego. Możemy zastosować ten

pomysł jeszcze raz, i utworzyć [math]\left\{ \left\{ \emptyset\right\}\right\}[/math]- zbiór

jednoelementowy złożony z poprzedniego zbioru, jako elementu. Przy czym, to jest zbiór różny

od poprzednich zbiorów. Tą operacje można powtarzać dowolną ilość razy, tworząc

'nieskończoną' ilość zbiorów. Przy czym, już te same zbiory, nie są więcej niż

jednoelementowe.

Aksjomat sumy dwóch zbiorów:

Dla dowolnych zbiorów [math]A, B[/math], istnieje zbiór [math]A \cup B[/math], tzn. zbiór

którego elementami są dokładnie wszystkie elementy zbioru [math]A[/math], oraz wszystkie

elementy zbioru [math]B[/math].

Dla dowolnych zbiorów [math]A, B[/math], a więc gdy mamy dwa zbiory [math]A, B[/math], to

istnieje zbiór [math]A \cup B[/math], a więc możemy utworzyć zbiór [math]A \cup B[/math]-

sumę mnogościową zbiorów [math]A[/math] i [math]B[/math].

Aksjomat ten mówi więc, że dla dwóch zbiorów, możemy utworzyć ich sumę mnogościową. [math]x \in A \cup B\Longleftrightarrow x \in A \vee x \in B.[/math]

Wniosek- istnieją dowolne zbiory skończone. Na podstawie aksjomatu zbioru pustego istnieje

zbiór zeroelementowy, na podstawie aksjomatu pary istnieje dowolny zbiór jedno- i

dwuelementowy.

Aby wykazać, że dla dowolnych [math]a,b,c[/math]. istnieje zbiór [math]\left\{ a,b,c\right\}[/math], zbiór ten definiujemy jako: [math]\left\{ a,b,c\right\}=\left\{ a, b\right\} \cup \left\{ c\right\}[/math] . Skoro mamy dowolny zbiór 3-elementowy, to dowolny

zbiór 4-elementowy, określamy jako:

[math]\left\{ a,b,c,d\right\}=\left\{ a, b,c\right\} \cup \left\{ d\right\}[/math]. Itd.-

następnie zbiór 5-elementowy, itd.

Twierdzenie. Dla dowolnych zbiorów [math]A,B[/math], mamy:

[math]1. \ A \cup B=B \cup A. \\ 2. \ A \subset A \cup B. \\ 3. \ B \subset A \cup B. \\ 4. \ A \cup A=A. \\ 5. \ A \cup \left\{ \right\} =A.[/math]

Bardzo prosty dowód tego twierdzenia pozostawimy czytelnikowi. Dowód korzysta z określenia

równości zbiorów / inkluzji, definicji sumy dwóch zbiorów, oraz z prostych praw rachunku

zdań.

Aksjomat sumy:

Dla dowolnej rodziny zbiorów [math]\mathbb_{X}[/math], istnieje zbiór [math]\bigcup \mathbb_{X}[/math] , tzn. zbiór, którego elementami są dokładnie wszystkie elementy

wszystkich elementów [math]\mathbb_{X}[/math].

Jeśli mamy zbiór zbiorów [math]\mathbb {X}[/math], ( rodzinę zbiorów), to [math]\bigcup \mathbb {X}[/math]- suma tej rodziny zbiorów, to nowy zbiór, którego elementami są

[b]dokładnie[/b] elementy elementów [math]\mathbb {X}[/math]. Jeśli [math]\mathbb {X}=\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4} \right\}[/math]. to [math]\bigcup \mathbb {X}[/math], to zbiór złożony z wszystkich elementów [math]A_{1}[/math]. oraz

wszystkich elementów [math]A_{2}[/math]. oraz wszystkich elementów [math]A_{3}[/math]. oraz

wszystkich elementów [math]A_{4}[/math]- i tyle jego elementów. Sumowanie zbiorów należących

do [math]\mathbb {X}[/math]. Mówiąc prosto, mając zbiór zbiorów, tworzymy nowy zbiór, złożony z wszystkich elementów,

tych że zbiorów.

<a href='http://wstaw.org/w/4FqF/'><img src='http://wstaw.org/m/2017/10/07/Suma_mnogo%C5%9Bciowa_JPG_300x300_q85.jpg'></a> Więc aksjomat ten mówi, że jeśli mamy rodzinę zbiorów, to możemy utworzyć sumę tej rodziny

zbiorów.

Aksjomat równości zbiorów, zapewnia jednoznaczność tej operacji- dla dowolnej, ustalonej

rodziny zbiorów [math]\mathbb {X}[/math] istnieje dokładnie jeden zbiór [math]\bigcup \mathbb_{X}[/math]. Weźmy dwa zbiory [math]\left( \bigcup\right) _{1} \mathbb {X}[/math],

[math]\left( \bigcup\right) _{2} \mathbb {X}[/math], złożone dokładnie z elementów elementów

[math]\mathbb {X}[/math], i pokażmy, że są równe. Wtedy:

[math]x\in\left( \bigcup\right) _{1} \mathbb {X}\Longleftrightarrow x\in A\in \mathbb {X},[/math] przy pewnym zbiorze [math]A[/math].

[math]x\in\left( \bigcup\right) _{2} \mathbb {X}\Longleftrightarrow x\in B\in \mathbb {X},[/math] przy pewnym zbiorze [math]B[/math].

Zauważmy, że prawe strony tych równoważności są do siebie równoważne. Jeśli [math]x[/math]

jest elementem pewnego zbioru [math]A[/math], z rodziny [math]\mathbb {X}[/math], to

[math]x[/math] jest elementem pewnego zbioru [math]B[/math], z rodziny [math]\mathbb {X}[/math]- tzn., wystarczy przyjąć za zbiór [math]B=A[/math], i wtedy [math]x\in B=A\in \mathbb {X}[/math]. Analogicznie można uzasadnić, że jeśli [math]x[/math] jest elementem

pewnego zbioru [math]B[/math], z rodziny [math]\mathbb {X}[/math], to [math]x[/math] jest

elementem pewnego zbioru [math]A[/math], z rodziny [math]\mathbb {X}[/math]. A więc prawe

strony tych równoważności są do siebie równoważne, a więc również lewe strony są równoważne,

czyli [math]x\in\left( \bigcup\right) _{1} \mathbb {X}\Longleftrightarrow x\in\left( \bigcup\right) _{2} \mathbb {X}[/math], co daje [math]\left( \bigcup\right) _{1} \mathbb {X}=\left( \bigcup\right) _{2} \mathbb {X}[/math], co należało pokazać. [math]\square[/math]

[math]\bigcup \left\{ \right\} =\left\{ \right\}[/math].

GDYBY [math]\bigcup \left\{ \right\}  \neq \left\{ \right\}[/math], to istniałoby 

[math]a\in \bigcup \left\{ \right\}[/math], a więc zgodnie z określeniem sumy rodziny

zbiorów [math]a\in A\in \left\{ \right\}[/math], dla pewnego zbioru [math]A[/math]. Widzimy

więc, że wtedy [math]A\in \left\{ \right\}[/math], a zbiór pusty nie posiada

elementów-sprzeczność. [math]\square[/math]

[math]\bigcup \left\{ \emptyset\right\} =\emptyset[/math].

GDYBY [math]\bigcup \left\{ \emptyset\right\} \neq \emptyset[/math], to istniałoby

[math]a\in \bigcup \left\{ \emptyset \right\}[/math], a więc zgodnie z określeniem sumy

rodziny zbiorów, [math]a\in A\in \left\{ \emptyset\right\}[/math], dla pewnego zbioru

[math]A[/math]. Ponieważ, jedynym zbiorem w rodzinie [math]\left\{ \emptyset\right\}[/math],

jest [math]\emptyset[/math], to [math]A=\emptyset[/math], i [math]a\in A=\emptyset[/math],

sprzeczność. [math]\square[/math]

Dla dowolnego zbioru [math]X[/math], mamy: [math]X=\bigcup \left\{ X\right\}[/math].

Dowód: Ustalmy dowolny zbiór [math]X[/math], oraz dowolne [math]x[/math]. Wtedy

[math]x\in\bigcup \left\{ X\right\}[/math], wtedy i tylko wtedy, gdy [math]x[/math] jest

elementem elementu [math]\left\{ X\right\}[/math]. Ponieważ, jedynym elementem [math]\left\{ X\right\}[/math], jest [math]X[/math], to ostatnie zdanie jest równoważne temu, że

[math]x\in X[/math]. Wobec dowolności [math]x[/math], otrzymujemy, że [math]X=\bigcup \left\{ X\right\}[/math], co należało pokazać.[math]\square[/math]

Dla dowolnych zbiorów [math]A,B[/math], mamy: [math]\bigcup \left\{ A,B\right\} =A \cup B.[/math]

Dowód: W myśl twierdzenia 1, należy pokazać dwie inkluzje: [math]\bigcup \left\{ A,B\right\} \subset A \cup B[/math], i [math]\bigcup \left\{ A,B\right\} \supset A \cup B.[/math]

Aby pokazać pierwszą inkluzję, to niech [math]x\in \bigcup \left\{ A,B\right\}[/math].

Oznacza to, że [math]x[/math] jest elementem elementu [math]\left\{ A,B\right\}[/math]. Ale

rodzina [math]\left\{ A,B\right\}[/math] ma dwa elementy- zbiory [math]A,B[/math].

Wnioskujemy, że [math]x\in A[/math] lub [math]x\in B[/math], czyli [math]x\in A \cup B[/math], i [math]\bigcup \left\{ A,B\right\} \subset A \cup B.[/math].

Aby pokazać drugą inkluzję, to niech [math]x\in A\cup B[/math]. Oznacza to, że [math]x\in A[/math] lub [math]x\in B[/math]. Jeśli [math]x\in A[/math], to wtedy, ponieważ oczywiście

[math]A\in \left\{ A,B\right\}[/math], to [math]x[/math] jest elementem elementu

[math]\left\{ A,B\right\}[/math], i [math]x\in\bigcup \left\{ A,B\right\}[/math]. W

przeciwnym przypadku, jeśli [math]x\in B[/math], to podobnie czytelnik łatwo wykaże, że

również [math]x\in\bigcup \left\{ A,B\right\}[/math], w związku z czym [math]\bigcup \left\{ A,B\right\} \supset A \cup B.[/math]

Na mocy twierdzenia 1, otrzymujemy: [math]\bigcup \left\{ A,B\right\} =A \cup B. \square[/math]