Dalsze zagadnienia

Będę tu prezentował dodatkowe, raczej proste zadania( bo były fajne zadania, które zostawiłem na potem). Będą to raczej proste problemy.

Uzasadnimy najpierw, że dla dwóch rodzin zbiorów [math]\mathbb{X}, \mathbb{Y}[/math] nie zawsze zachodzi równość zbiorów:

[math]\bigcap\left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}\right)= \bigcap \mathbb{X} \cap \bigcap \mathbb{Y}.[/math]

Jako kontrprzykład dla tej równości połóżmy [math]X=\left\{ 1,2\right\} [/math] [math]Y=\left\{ 2,3\right\}[/math] oraz [math]\mathbb{X}=\left\{ X\right\}, \mathbb{Y}=\left\{ Y\right\}.[/math]

Wtedy [math]\bigcap \mathbb{X}=X[/math], podobnie [math]\bigcap \mathbb{Y}=Y[/math], zatem [math]\bigcap \mathbb{X} \cap \bigcap \mathbb{Y}=X\cap Y=\left\{ 2\right\}.[/math]

Podczas gdy [math]\mathbb{X} \cap \mathbb{Y}=\emptyset[/math], bo zbiory [math]X\neq Y[/math], zatem [math]\bigcap\left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}\right)=\bigcap\emptyset=\emptyset\neq\left\{ 2\right\}[/math], równość więc nie jest prawdą.

Zastanówmy się nad inkluzjami dla rodziny zbiorów [math]\mathbb{X}[/math]: [math]\bigcup\mathbb{X}\subset \mathbb{X}[/math], oraz [math]\bigcup\mathbb{X}\supset \mathbb{X}.[/math] Otóż, wbrew pozorom, ta ostatnia inkluzja jest o wiele bardziej nietypowa. Pierwsza inkluzja mówi, że elementy [math]\bigcup\mathbb{X}[/math] są elementami [math]\mathbb{X}[/math], czyli elementy elementów [math]\mathbb{X}[/math] (zbiorów rodziny [math]\mathbb{X}[/math]) są elementami [math]\mathbb{X}[/math]- są to tzw. zbiory(rodziny zbiorów) przechodnie. Równoważnie to możemy określić warunkiem [math]\mathbb{X}\subset P\left( \mathbb{X}\right)[/math], bo ten warunek oznacza, że zbiory rodziny [math]\mathbb{X}[/math] są elementami [math]P\left( \mathbb{X}\right)[/math], czyli są podzbiorami [math]\mathbb{X}[/math], w związku z czym ich elementy są elementami [math]\mathbb{X}[/math], czyli to oznacza, że elementy elementów [math]\mathbb{X}[/math] są elementami [math]\mathbb{X}[/math]. O takich zbiorach przechodnich będziemy jeszcze pisać.

Natomiast inkluzja [math]\bigcup\mathbb{X}\supset \mathbb{X}.[/math] jest o wiele dziwniejsza. Mówi ona, że zbiory rodziny [math]\mathbb{X}[/math] są elementami [math]\bigcup\mathbb{X}[/math], a więc elementów tych zbiorów. A to przecież elementy zbiorów rodziny [math]\mathbb{X}[/math] są elementami odpowiednich zbiorów. Jednak taka dziwaczna inkluzja jest możliwa. Niech [math]\mathbb{X}[/math] będzie dowolną rodziną induktywną (tzn. spełniającą aksjomat nieskończoności). Wykażemy, że wtedy [math]\bigcup\mathbb{X}\supset \mathbb{X}.[/math]

Niech [math]A\in\mathbb{X}.[/math] Pokażemy, że [math]A\in\bigcup\mathbb{X}.[/math] Ponieważ [math]\mathbb{X}[/math] jest zbiorem induktywnym, to [math]A'=A\cup\left\{ A\right\}\in\mathbb{X}[/math], ponieważ [math]A\in A\cup\left\{ A\right\}\in\mathbb{X}[/math], to [math]A\in\bigcup\mathbb{X}. \square[/math]

Zastanówmy się teraz uważnie nad pytaniem: Czy istnieje więcej niż jeden zbiór(rodzina zbiorów) [math]\mathbb{X}[/math] taka, że [math]\bigcap \mathbb{X} = \bigcup \mathbb{X}[/math]?

Otóż wiemy, że dla dowolnego zbioru [math]X[/math] mamy [math]\bigcap \left\{X\right\}=X=\bigcup \left\{X\right\},[/math] a więc istnieje przynajmniej jedna taka rodzina zbiorów. Biorąc teraz dwa różne zbiory [math]A,B[/math], zauważamy, że wtedy rodziny zbiorów [math]\left\{A\right\}, \left\{B\right\}[/math] są różne (bo zbiory [math]A,B[/math] są różne). Zgodnie z przytoczonym faktem [math]\bigcap \left\{A\right\}=A=\bigcup \left\{A\right\},[/math] oraz [math]\bigcap \left\{B\right\}=B=\bigcup \left\{B\right\}[/math], wobec czego istnieją co najmniej dwie rodziny zbiorów [math]\mathbb{X}[/math], takie,że iloczyn rodziny [math]\mathbb{X}[/math] jest równy sumie rodziny [math]\mathbb{X}[/math].