|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| − | Rozdział ten jest poświęcony twierdzeniu, które użyjemy w następnym rozdziale poświęconym aksjomatowi wyboru.
| + | Otóż niech <math>X,Y</math> będą dowolnymi zbiorami, oraz niech <math>x\in X, y \in Y</math>. Łatwo zauważyć, że zarówno <math> \left\{x,y\right\}</math>, jak i <math> \left\{x\right\}</math> są podzbiorami <math> X \cup Y</math>. Zatem <math> \left\{x,y\right\} \in \mathcal{P} (X \cup Y)</math> oraz <math> \left\{x\right\} \in \mathcal{P} (X \cup Y)</math>. Więc <math> \left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\} \subset \mathcal{P} (X \cup Y)</math>, co daje, że <math>\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\}= (x,y) \in \mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)).</math> |
| | | | |
| − | == '''Twierdzenie Bourbakiego-Witta''' == | + | Zauważmy teraz, że dla dowolnych ustalonych dwóch zbiorów <math>X,Y</math> istnieje dokładnie jeden zbiór <math>X \cup Y</math>, dla zbioru <math>X \cup Y</math> istnieje jedyny zbiór <math>P\left( X \cup Y\right)</math>, i znowu dla tego zbioru istnieje jedyny zbiór <math>\mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)).</math> Nasz dowód pokaże, że jeśli <math>x\in X, y\in Y</math> to <math>\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\}= (x,y) \in \mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)), </math> co wobec dowolności <math>x,y</math> będzie oznaczać, że cały iloczyn kartezjański <math>X\times Y</math> jest zawarty w tym jedynym zbiorze <math>\mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)).</math> Pozostaje więc wybrać z tego jedynego zbioru (stosując aksjomat wybierania) ten iloczyn kartezjański, te wszystkie pary. Definiujemy więc: |
| | | | |
| − | ''Jeśli w zbiorze uporządkowanym <math>\left( A, \le \right)</math> każdy łańcuch posiada supremum, oraz dla funkcji <math>f</math> przeprowadzającej ten zbiór uporządkowany <math>A</math> w <math>A</math>, i spełniającej <math>x \le f\left( x\right)</math> dla dowolnego <math>x\in A</math>, to funkcja <math>f</math> posiada punkt stały, czyli istnieje <math>x</math>, taki, że <math>f \left( x\right) =x.</math>.''
| + | <math> X \times Y=\left\{a\in\mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)) \Bigl| \ \bigvee \limits_{x\in X}\bigvee \limits_{y\in Y} a=(x,y)=\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\} \right\}.</math> |
| | | | |
| − | Dla łańcucha <math>C</math> jego supremum będziemy oznaczać <math>\bigvee C</math>. W czasie tego dowodu zostaną pokazane trzy lematy. Są one częścią całego dowodu.
| + | Wybraliśmy więc z takiego zbioru pary uporządkowane <math>a=(x,y)</math>, gdzie <math>x</math> jest pewnym elementem zbioru <math>X</math>, <math>y</math> jest pewnym elementem zbioru <math>Y</math>. |
| − | | |
| − | '''Dowód:'''
| |
| − | | |
| − | Nasze założenia odnośnie zbioru uporządkowanego <math>A</math>, że każdy łańcuch posiada supremum gwarantują jego niepustość. Wystarczy odnaleźć jeden łańcuch (np. łańcuch pusty), a więc mamy jeden łańcuch, i ponieważ ten łańcuch posiada supremum, które jest elementem zbioru uporządkowanego <math>A</math>, a więc zbiór <math>A</math> jest niepusty. Ustalmy więc <math>a\in A.</math> Zdefiniujmy rodzinę zbiorów ''''nadmaksymalnych'''':
| |
| − | | |
| − | <math>\mathbb{S}=\left\{ B \subset A | \ \ \textbf{(1)} \wedge \textbf{(2)} \wedge \textbf{(3)} \right\},</math> gdzie
| |
| − | | |
| − | '''(1)''' <math>\ a\in B, </math>
| |
| − | | |
| − | '''(2)''' <math>\ \hbox{ jeśli } x\in B \hbox { to również } f\left( x\right)\in B,</math>
| |
| − | | |
| − | '''(3)''' <math>\ \hbox{ jeśli } \left\{ \right\} \neq C \subset B \hbox{ jest niepustym łańcuchem to } \bigvee C \in B.</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Zbiory spełniające wszystkie te trzy warunki nazwiemy '''nadmaksymalnymi '''. Istnieją zbiory nadmaksymalne, gdyż cały zbiór <math>A</math> jest nadmaksymalny (rozpatrywane elementy należą do zbioru uporządkowanego <math>A</math>).
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że ''jeśli <math>\mathbb{X}\subset\mathbb{S}</math> jest niepustym zbiorem zbiorów nadmaksymalnych, to <math>\bigcap \mathbb{X}</math> jest również zbiorem nadmaksymalnym.''
| |
| − | | |
| − | Udowodnijmy punkt '''(3)'''
| |
| − | | |
| − | Niech <math>C \subset \bigcap \mathbb{X}</math> będzie niepustym łańcuchem. Pokażemy, że <math>\bigvee C \in \bigcap \mathbb{X}</math>. Wystarczy zatem pokazać, ze <math>\bigvee C \in B</math> dla każdego zbioru <math>B\in \mathbb{X}.</math> Aby to pokazać,to niech <math>B\in \mathbb{X}</math>. Z własności iloczynu mnogościowego <math>\bigcap \mathbb{X} \subset B</math>. Nasze założenia dają <math>C \subset \bigcap \mathbb{X} \subset B</math>, czyli <math>C \subset B</math>. Ponieważ <math>C</math> jest łańcuchem, i ponieważ zbiory <math>B\in \mathbb{X}</math> są nadmaksymalne, to z własności '''(3)''' dostajemy <math>\bigvee C \in B</math>. Dowolność wyboru <math>B\in \mathbb{X}</math> kończy dowód.
| |
| − | | |
| − | Dowody punktów '''2''' i '''1''' są podobne (i mogą być tylko łatwiejsze) więc pozostawimy je czytelnikowi. Zatem iloczyn dowolnej niepustej rodziny zbiorów nadmaksymalnych jest zbiorem nadmaksymalnym.
| |
| − | | |
| − | Zdefiniujmy zbiór <math>B_{0}=\bigcap \mathbb{S}</math> jako iloczyn wszystkich zbiorów nadmaksymalnych. Otrzymujemy zatem, że <math>B_{0}</math> ''' jest nadmaksymalny.''' Z własności iloczynu jest on podzbiorem każdego nadmaksymalnego zbioru, jest '''najmniejszym''' zbiorem nadmaksymalnym.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Pokażemy, że zbiór <math>B_{0}</math> jest łańcuchem- nie będzie to łatwe.
| |
| − | | |
| − | '''Lemat 0''' ''Każdy element <math>x</math> z <math>B_{0 }</math> jest większy lub równy od <math>a</math>- <math>x \ge a</math>.''
| |
| − | | |
| − | Dowód:
| |
| − | | |
| − | Niech <math>B=\left\{ x\in A | \ \ x \ge a\right\}.</math> Pokażemy, że jest to zbiór nadmaksymalny.
| |
| − | | |
| − | '''(1)''' <math>a\in B</math>, bo <math>a \ge a.</math>
| |
| − | | |
| − | '''(2)''' Niech <math>x\in B.</math> Pokażemy, że <math>f\left( x\right) \in B</math>. Ponieważ <math>x\in B,</math> to <math>x \ge a</math>, nasze założenia dają, że zawsze <math>x \le f\left( x\right)</math>, zatem tym bardziej <math>f\left( x\right) \ge a</math>, co oznacza, ze <math>f\left( x\right) \in B.</math>
| |
| − | | |
| − | '''(3)''' Niech <math>\left\{ \right\} \neq C\subset B</math> będzie łańcuchem niepustym. Ponieważ jest niepusty, więc istnieje <math>c\in C</math>. Element ten należy do <math>B</math>, więc <math>c \ge a</math>. Supremum <math>C</math> musi być większe od każdego elementu <math>C</math>, czyli również <math>\bigvee C \ge c \ge a</math>, czyli <math>\bigvee C \ge a</math> i <math>\bigvee C\in B</math>, co należało pokazać.
| |
| − | | |
| − | Zatem <math>B</math> jest nadmaksymalny. Ponieważ <math>B_{0}</math> jest najmniejszym nadmaksymalnym, to <math>B_{0}\subset B</math>, czyli każdy element z <math>B_{0}</math> jest większy lub równy od <math>a</math>. <math>\square</math>
| |
| − | | |
| − | Zdefiniujmy zbiór:
| |
| − | | |
| − | <math>B_{1}=\left\{ x\in B_{0}| \ \ y\in B_{0} \wedge y<x \longrightarrow f\left( y\right) \le x\right\}</math>
| |
| − | | |
| − | Jest to zbiór tych <math>x</math>-ów z <math>B_{0}</math>, że razem z elementem silnie mniejszym od <math>x</math> wartość <math>f</math> na nim też nie przekracza <math>x</math>. Potem pokażemy, że jest on równy całemu <math>B_{0}</math>. Wpierw udowodnijmy inny, bardzo pomocny lemat.
| |
| − | | |
| − | '''Lemat 1''' ''Jeśli <math>x\in B_{1}</math>, to dla każdego <math>y\in B_{0}</math> zachodzi: <math>y \le x \vee f\left( x\right) \le y</math>.''
| |
| − | | |
| − | '''Dowód:'''
| |
| − | | |
| − | Niech <math>x\in B_{1}.</math> Zdefiniujmy zbiór <math>B_{x}</math>:
| |
| − | | |
| − | <math>B_{x}=\left\{ y\in B_{0}| \ \ y \le x \vee f\left( x\right) \le y\right\} \subset B_{0}</math>
| |
| − | | |
| − | Jest to zbiór tych elementów, dla których dowodzony lemat zachodzi. Pokażemy, że zbiór <math>B_{x}</math> jest nadmaksymalny.
| |
| − | | |
| − | '''(1)''' Pokażmy, że <math>a\in B_{x}</math>. Niewątpliwie <math>a\in B_{0}</math> ( bo <math>B_{0}</math> jest nadmaksymalny). Z '''lematu 0''' wynika, że <math>x \ge a</math>, czyli <math>a\in B_{x}</math>.
| |
| − | | |
| − | '''(2)''' Niech <math>y\in B_{x}</math>. Pokażmy, że <math>f\left( y\right)\in B_{x}</math>. Ponieważ <math>y\in B_{0},</math> to z nadmaksymalności <math>B_{0}</math> mamy <math>f\left( y\right)\in B_{0}</math>. Pozostaje pokazać, ze <math>f\left( y\right) \le x \vee f\left( x\right) \le f\left( y\right)</math>. Wiemy, że <math>y\in B_{x}</math>, więc jeśli <math>f\left( x\right) \le y</math>, to ponieważ <math>y \le f\left( y\right)</math> więc <math>f\left( x\right) \le f\left( y\right)</math>, co należało pokazać. W przeciwnym przypadku mamy <math>y \le x</math>, wiec jeśli <math>y=x</math>, to <math>f\left( y\right) =f \left( x\right)</math>, zatem <math>f\left( x\right) \le f\left( y\right)</math>, a jeśli <math>y<x</math> to z określenia <math>B_{1}</math> dostajemy <math>f\left( y\right) \le x</math>. Zatem w każdym przypadku <math>f\left( y\right) \le x \vee f\left( x\right) \le f\left( y\right)</math>, więc <math>f\left( y\right)\in
| |
| − | B_{x}</math>
| |
| − | | |
| − | '''(3)''' Niech <math>\left\{ \right\} \neq C\subset B_{x}</math> będzie łańcuchem niepustym. Pokażemy, że <math>\bigvee C \in B_{x}</math>. Ponieważ <math>B_{x}\subset B_{0}</math>, więc <math>C\subset B_{0}</math>. Mamy, że <math>B_{0}</math> jest nadmaksymalny, więc <math>\bigvee C \in B_{0}</math>. Jeśli dla każdego <math>y\in C</math> zachodzi <math>y \le x</math>, to <math>x</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>C</math>, ponieważ <math>\bigvee C</math> jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla <math>C</math>, więc <math>\bigvee C \le x</math> i <math>\bigvee C \in B_{x}</math>. W przeciwnym przypadku (<math>C</math> jest niepusty i jest podzbiorem <math>B_{x}</math>), więc dla pewnego <math>y\in C</math> zachodzi druga możliwość, czyli <math>f\left( x\right) \le y</math>. Wtedy <math>y \le \bigvee C</math>, więc <math>f\left( x\right) \le \bigvee C</math>, a zatem <math>\bigvee C \in B_{x}.</math>
| |
| − | | |
| − | Zatem <math>B_{x}</math> jest nadmaksymalny. Ponieważ zbiór <math>B _{0}</math> jest najmniejszym nadmaksymalnym, to <math>B_{0}\subset B_{x}</math>, i <math>B_{0}= B_{x}</math>. Czyli dla każdego <math>y\in B_{0}</math> zachodzi: <math>y \le x \vee f\left( x\right) \le y.</math> <math>\square</math>
| |
| − | | |
| − | W kolejnym lemacie dowodzimy, że zbiory <math>B_{0}</math> i <math>B_{1}</math> są równe.
| |
| − | | |
| − | Dowód:
| |
| − | | |
| − | Pokażemy, że zbiór <math>B_{1}</math> jest nadmaksymalny.
| |
| − | | |
| − | <math>B_{1}=\left\{ x\in B_{0}| \ \ y\in B_{0} \wedge y<x \longrightarrow f\left( y\right) \le x\right\} \subset B_{0}</math>
| |
| − | | |
| − | '''(1)''' Pokażmy, że <math>a\in B_{1}</math>. Niewątpliwie <math>a\in B_{0}</math> ( bo <math>B_{0}</math> jest nadmaksymalny) Z '''lematu 0''' wynika, że <math>y<a</math> nie zachodzi dla żadnego <math>y\in B_{0}</math>. Zatem założenia implikacji w definicji <math>B_{1}</math> nie są spełnione, a więc cała implikacja jest prawdziwa, czyli <math>a\in B_{1}</math>.
| |
| − | | |
| − | '''(2)''' Niech <math>x\in B_{1}</math>. Pokażemy, że <math>f\left( x\right) \in B_{1}</math>. Ponieważ <math>x\in B_{0}</math>, więc również <math>f\left( x\right) \in B_{0}</math>. Aby pokazać prawdziwość implikacji odnośnie <math>f(x)</math>, to weźmy <math>y\in B_{0}</math> takie że <math>y<f(x)</math>. Pokażemy, że <math>f(y) \le f(x)</math>. Na mocy '''lematu 1''' dostajemy <math>y \le x \vee f\left( x\right) \le y</math>. Druga część tej alternatywy przeczy założeniu, że<math>y<f(x)</math>, musi więc być <math>y \le x</math>, więc jeśli <math>y=x</math> to <math>f(y)=f(x)</math>, więc <math>f(y) \le f(x)</math>, a jeśli <math>y<x</math>, to stosując definicję <math>B_{1}</math> do <math>x\in B_{1}</math> i <math>y</math> dostajemy, że <math>f\left( y\right) \le x \le f(x)</math>, czyli również w tym przypadku <math>f\left( y\right) \le f(x)</math>. Zatem <math>f\left( x\right) \in B_{1}</math>
| |
| − | | |
| − | '''(3)''' Niech <math>\left\{ \right\} \neq C\subset B_{1}</math> będzie łańcuchem niepustym. Pokażemy, że <math>\bigvee C \in B_{1}</math>. Ponieważ <math>B_{1}\subset B_{0}</math>, więc <math>C\subset B_{0}</math>. Zbiór <math>B_{0}</math> jest nadmaksymalny zatem <math>\bigvee C \in B_{0}</math>. Aby pokazać, że <math>\bigvee C \in B_{1}</math> weźmy <math>y</math> z <math>B_{0}</math> taki, że <math>y<\bigvee C</math> i pokażmy, że <math>f\left( y\right) \le \bigvee C</math>. Jeśli dla pewnego <math>x\in C</math> ( <math>C</math> jest niepusty) mamy <math>y<x</math>, to ponieważ <math>x\in B_{1}</math>, więc z definicji tego zbioru dostajemy <math>f\left( y\right) \le x</math>. Element <math>x\in C</math> spełnia <math>x \le \bigvee C</math>, wobec czego <math>f\left( y\right) \le \bigvee C</math> i <math>\bigvee C \in B_{1}</math>. To zachodzi gdy dla pewnego <math>x\in C</math> mamy <math>y<x</math>. Przypuśćmy zatem nie wprost, że tak nie jest. Mamy zatem <math>y\not<x</math>, że żaden <math>x\in C</math> nie jest większy od <math>y</math>. Ustalmy dowolny <math>x\in C</math>. Wnioskujemy, że <math>y\not<x</math> Stosując '''lemat 1''' otrzymujemy, że : <math>y \le x \vee f\left( x\right) \le y</math>. Pierwszy przypadek daje tylko możliwość <math>x=y</math>, i wtedy <math>x \le y</math>, a drugi przypadek daje <math>x \le f\left( x\right) \le y</math>, więc również <math>x \le y</math>. Z dowolności wyboru <math>x\in C</math> otrzymujemy, że ten ustalony <math>y</math> jest ograniczeniem górnym dla <math>C</math>. Ponieważ <math>\bigvee C</math> jest najmniejszym ograniczeniem górnym, to <math>\bigvee C \le y</math>, co przeczy założeniu, że <math>y<\bigvee C</math>. Ta sprzeczność kończy dowód tego punktu.
| |
| − | | |
| − | Zatem zbiór <math>B_{1}</math> jest nadmaksymalny. Ponieważ zbiór <math>B_{0}</math> jest najmniejszym nadmaksymalnym, to <math>B_{0} \subset B_{1}</math>, a zatem <math>B_{0}=B_{1}</math>. <math>\square</math>.
| |
| − | | |
| − | Tak więc <math>B _{0} =B_{1}</math>, więc dla dowolnych <math>x</math> i <math>y</math> w <math>B_{0}</math> mamy na podstawie '''lematu 1''': <math>y \le x \vee f\left( x\right) \le y</math>. W pierwszym przypadku mamy <math>y \le x</math>, a więc elementy są porównywalne, w przeciwnym przypadku <math>x \le f\left( x\right) \le y</math>, więc <math>x \le y</math>, zatem również elementy są porównywalne. Z dowolności wyboru elementów <math>x</math> i <math>y</math> wnioskujemy, że zbiór <math>B _{0}</math> jest łańcuchem. Mając to, już łatwo zakończymy dowód tego twierdzenia.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Więc <math>B_{0}</math> jest łańcuchem. Ponieważ zbiór <math>B_{0}</math> jest też nadmaksymalny, to stosując '''punkt 3''' wnioskujemy, że <math>\bigvee B_{0}\in B_{0}</math>, więc również <math>f\left( \bigvee B_{0}\right) \in B_{0}</math>-znowu z nadmaksymalności <math>B_{0}</math>. Ponieważ jednak <math>\bigvee B_{0}</math> jest większe lub równe od każdego elementu <math>B_{0}</math>, więc również <math>f\left( \bigvee B_{0}\right) \le \bigvee B_{0}</math>, nasze założenia dają <math>\bigvee B_{0} \le f\left( \bigvee B_{0}\right)</math>, wobec czego <math>f\left( \bigvee B_{0}\right) = \bigvee B_{0}</math>, co oznacza, że <math>\bigvee B_{0}</math> jest punktem stałym. <math>\square</math>
| |
Otóż niech [math]X,Y[/math] będą dowolnymi zbiorami, oraz niech [math]x\in X, y \in Y[/math]. Łatwo zauważyć, że zarówno [math] \left\{x,y\right\}[/math], jak i [math] \left\{x\right\}[/math] są podzbiorami [math] X \cup Y[/math]. Zatem [math] \left\{x,y\right\} \in \mathcal{P} (X \cup Y)[/math] oraz [math] \left\{x\right\} \in \mathcal{P} (X \cup Y)[/math]. Więc [math] \left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\} \subset \mathcal{P} (X \cup Y)[/math], co daje, że [math]\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\}= (x,y) \in \mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)).[/math]
Zauważmy teraz, że dla dowolnych ustalonych dwóch zbiorów [math]X,Y[/math] istnieje dokładnie jeden zbiór [math]X \cup Y[/math], dla zbioru [math]X \cup Y[/math] istnieje jedyny zbiór [math]P\left( X \cup Y\right)[/math], i znowu dla tego zbioru istnieje jedyny zbiór [math]\mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)).[/math] Nasz dowód pokaże, że jeśli [math]x\in X, y\in Y[/math] to [math]\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\}= (x,y) \in \mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)), [/math] co wobec dowolności [math]x,y[/math] będzie oznaczać, że cały iloczyn kartezjański [math]X\times Y[/math] jest zawarty w tym jedynym zbiorze [math]\mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)).[/math] Pozostaje więc wybrać z tego jedynego zbioru (stosując aksjomat wybierania) ten iloczyn kartezjański, te wszystkie pary. Definiujemy więc:
[math] X \times Y=\left\{a\in\mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)) \Bigl| \ \bigvee \limits_{x\in X}\bigvee \limits_{y\in Y} a=(x,y)=\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\} \right\}.[/math]
Wybraliśmy więc z takiego zbioru pary uporządkowane [math]a=(x,y)[/math], gdzie [math]x[/math] jest pewnym elementem zbioru [math]X[/math], [math]y[/math] jest pewnym elementem zbioru [math]Y[/math].
