|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| − | Otóż niech <math>X,Y</math> będą dowolnymi zbiorami, oraz niech <math>x\in X, y \in Y</math>. Łatwo zauważyć, że zarówno <math> \left\{x,y\right\}</math>, jak i <math> \left\{x\right\}</math> są podzbiorami <math> X \cup Y</math>. Zatem <math> \left\{x,y\right\} \in \mathcal{P} (X \cup Y)</math> oraz <math> \left\{x\right\} \in \mathcal{P} (X \cup Y)</math>. Więc <math> \left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\} \subset \mathcal{P} (X \cup Y)</math>, co daje, że <math>\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\}= (x,y) \in \mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)).</math>
| + | Rozdział ten jest poświęcony twierdzeniu, które użyjemy w następnym rozdziale poświęconym aksjomatowi wyboru. |
| | | | |
| − | Zauważmy teraz, że dla dowolnych ustalonych dwóch zbiorów <math>X,Y</math> istnieje dokładnie jeden zbiór <math>X \cup Y</math>, dla zbioru <math>X \cup Y</math> istnieje jedyny zbiór <math>P\left( X \cup Y\right)</math>, i znowu dla tego zbioru istnieje jedyny zbiór <math>\mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)).</math> Nasz dowód pokaże, że jeśli <math>x\in X, y\in Y</math> to <math>\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\}= (x,y) \in \mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)), </math> co wobec dowolności <math>x,y</math> będzie oznaczać, że cały iloczyn kartezjański <math>X\times Y</math> jest zawarty w tym jedynym zbiorze <math>\mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)).</math> Pozostaje więc wybrać z tego jedynego zbioru (stosując aksjomat wybierania) ten iloczyn kartezjański, te wszystkie pary. Definiujemy więc:
| + | == '''Twierdzenie Bourbakiego-Witta''' == |
| − | | |
| − | <math> X \times Y=\left\{a\in\mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)) \Bigl| \ \bigvee \limits_{x\in X}\bigvee \limits_{y\in Y} a=(x,y)=\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\} \right\}.</math>
| |
| − | | |
| − | Wybraliśmy więc z takiego zbioru pary uporządkowane <math>a=(x,y)</math>, gdzie <math>x</math> jest pewnym elementem zbioru <math>X</math>, <math>y</math> jest pewnym elementem zbioru <math>Y</math>.
| |
