Zbiory uporządkowane: Różnice pomiędzy wersjami
(Utworzono nową stronę " Zbiorem uporządkowanym (częściowo) nazywamy parę <math>\left( X, R\right)</math>, gdzie <math>X</math> jest zbiorem, a <math>R\subset X\times X</math> jest relacj...") |
|||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
| − | + | ''Zbiorem uporządkowanym (częściowo) nazywamy parę <math>\left( X, R\right)</math>, gdzie <math>X</math> jest zbiorem, a <math>R\subset X\times X</math> jest relacją:'' | |
| − | Zbiorem uporządkowanym (częściowo) nazywamy parę <math>\left( X, R\right)</math>, gdzie <math>X</math> jest zbiorem, a <math>R\subset X\times X</math> jest relacją: | ||
1. Zwrotną, tzn. dla dowolnego <math>x\in X</math> zachodzi <math>\left( x,x\right) \in R. </math> | 1. Zwrotną, tzn. dla dowolnego <math>x\in X</math> zachodzi <math>\left( x,x\right) \in R. </math> | ||
| Linia 8: | Linia 7: | ||
3. Przechodnią, tzn. spełnia warunek <math>\left( x,y\right) \in R \wedge \left( y,z\right) \in R \Longrightarrow \left( x,z\right) \in R.</math> | 3. Przechodnią, tzn. spełnia warunek <math>\left( x,y\right) \in R \wedge \left( y,z\right) \in R \Longrightarrow \left( x,z\right) \in R.</math> | ||
| − | Jeżeli dodatkowo relacja jest spójna, tzn. dla dowolnych <math>x,y\in X,</math> zachodzi <math>\left( x,y\right) \in R</math> lub <math>\left( y,x\right) \in R</math>, to wtedy parę <math>\left( X, R\right)</math>, nazywamy zbiorem liniowo uporządkowanym. Mówimy wtedy, że <math>R</math> jest liniowym porządkiem na <math>X</math>, oraz że zbiór <math>X</math> jest liniowo uporządkowany przez <math>R</math>. Podobnie dla zbioru uporządkowanego, relację | + | ''Jeżeli dodatkowo relacja jest spójna, tzn. dla dowolnych <math>x,y\in X,</math> zachodzi <math>\left( x,y\right) \in R</math> lub <math>\left( y,x\right) \in R</math>, to wtedy parę <math>\left( X, R\right)</math>, nazywamy zbiorem liniowo uporządkowanym. Mówimy wtedy, że <math>R</math> jest liniowym porządkiem na <math>X</math>, oraz że zbiór <math>X</math> jest liniowo uporządkowany przez <math>R</math>. Podobnie dla zbioru uporządkowanego, relację nazywamy porządkiem (częściowym) na zbiorze <math>X.</math>'' |
| − | nazywamy porządkiem (częściowym) na zbiorze <math>X.</math> | ||
Często oznaczamy relację porządku przez <math>\le</math>( lub symbolami podobnymi np.<math>\preccurlyeq, \sqsubseteq</math>). Dla zbioru uporządkowanego <math>\left( X, \le \right)</math>, dla dowolnego <math>x\in X</math> zachodzi <math>x \le x,</math> bo relacja porządku jest zwrotna. Zatem dla elementów <math>x,y\in X</math>, oznaczamy <math>x<y</math> gdy <math>x \le y</math> i <math>x\neq y,</math> i mówimy, że <math>x</math> jest silnie mniejszy od <math>y.</math> Podobnie dla innych oznaczeń relacji porządku. W zbiorze uporządkowanym <math>\left( X,\le\right)</math>, będziemy czasem pisać <math>y\ge x</math> zamiast <math>x\le y</math>, oraz <math>y>x</math> zamiast <math>x<y.</math> | Często oznaczamy relację porządku przez <math>\le</math>( lub symbolami podobnymi np.<math>\preccurlyeq, \sqsubseteq</math>). Dla zbioru uporządkowanego <math>\left( X, \le \right)</math>, dla dowolnego <math>x\in X</math> zachodzi <math>x \le x,</math> bo relacja porządku jest zwrotna. Zatem dla elementów <math>x,y\in X</math>, oznaczamy <math>x<y</math> gdy <math>x \le y</math> i <math>x\neq y,</math> i mówimy, że <math>x</math> jest silnie mniejszy od <math>y.</math> Podobnie dla innych oznaczeń relacji porządku. W zbiorze uporządkowanym <math>\left( X,\le\right)</math>, będziemy czasem pisać <math>y\ge x</math> zamiast <math>x\le y</math>, oraz <math>y>x</math> zamiast <math>x<y.</math> | ||
| − | Niech <math>\left( X, \le \right)</math> będzie zbiorem uporządkowanym. niech <math>A \subset X, a\in X</math>. Element <math>a</math> nazywamy elementem najmniejszym zbioru <math>A</math> względem porządku <math>\le</math>, gdy <math>a\in A</math>, oraz gdy dla dowolnego <math>x\in A</math>, zachodzi <math>a \le x.</math> | + | ''Niech <math>\left( X, \le \right)</math> będzie zbiorem uporządkowanym. niech <math>A \subset X, a\in X</math>. Element <math>a</math> nazywamy elementem najmniejszym zbioru <math>A</math> względem porządku <math>\le</math>, gdy <math>a\in A</math>, oraz gdy dla dowolnego <math>x\in A</math>, zachodzi <math>a \le x.</math>'' |
Tzn. element najmniejszy zbioru <math>A</math>, to taki element <math>A</math>, który jest mniejszy lub równy (względem rozpatrywanego porządku) od każdego elementu tego zbioru <math>A</math>. | Tzn. element najmniejszy zbioru <math>A</math>, to taki element <math>A</math>, który jest mniejszy lub równy (względem rozpatrywanego porządku) od każdego elementu tego zbioru <math>A</math>. | ||
| − | Analogicznie możemy zdefiniować element największy zbioru <math>A \subset X</math>, jako taki element <math>a\in A</math>, który jest większy lub równy od każdego elementu tego zbioru, tzn. dla dowolnego <math>x\in A</math> zachodzi <math>x \le a.</math> | + | Analogicznie możemy zdefiniować ''element największy zbioru <math>A \subset X</math>, jako taki element <math>a\in A</math>, który jest większy lub równy od każdego elementu tego zbioru, tzn. dla dowolnego <math>x\in A</math> zachodzi <math>x \le a.</math>'' |
| − | Niech <math>\left( X, \le _{X}\right) , \left( Y, \le _{Y}\right)</math> zbiory uporządkowane. Porządek <math>\le _{Y}</math> nazywamy rozszerzeniem porządku <math>\le_{X}</math>, gdy dla dowolnych <math>a,b\in X</math> spełniony jest warunek: | + | ''Niech <math>\left( X, \le _{X}\right) , \left( Y, \le _{Y}\right)</math> zbiory uporządkowane. Porządek <math>\le _{Y}</math> nazywamy rozszerzeniem porządku <math>\le_{X}</math>, gdy dla dowolnych <math>a,b\in X</math> spełniony jest warunek: |
| − | <math>a\le _{X}b \Longrightarrow a\le _{Y}b.</math> | + | <math>a\le _{X}b \Longrightarrow a\le _{Y}b.</math>'' |
[[Plik:Liniowe porządki.JPG|300px|thumb|right|Suma liniowych porządków]] | [[Plik:Liniowe porządki.JPG|300px|thumb|right|Suma liniowych porządków]] | ||
'''Twierdzenie:''' | '''Twierdzenie:''' | ||
Wersja z 00:18, 24 maj 2018
Zbiorem uporządkowanym (częściowo) nazywamy parę , gdzie jest zbiorem, a jest relacją:
1. Zwrotną, tzn. dla dowolnego zachodzi
2. Antysymetryczną, tzn. spełnia warunek
3. Przechodnią, tzn. spełnia warunek
Jeżeli dodatkowo relacja jest spójna, tzn. dla dowolnych zachodzi lub , to wtedy parę , nazywamy zbiorem liniowo uporządkowanym. Mówimy wtedy, że jest liniowym porządkiem na , oraz że zbiór jest liniowo uporządkowany przez . Podobnie dla zbioru uporządkowanego, relację nazywamy porządkiem (częściowym) na zbiorze
Często oznaczamy relację porządku przez ( lub symbolami podobnymi np.). Dla zbioru uporządkowanego , dla dowolnego zachodzi bo relacja porządku jest zwrotna. Zatem dla elementów , oznaczamy gdy i i mówimy, że jest silnie mniejszy od Podobnie dla innych oznaczeń relacji porządku. W zbiorze uporządkowanym , będziemy czasem pisać zamiast , oraz zamiast
Niech będzie zbiorem uporządkowanym. niech . Element nazywamy elementem najmniejszym zbioru względem porządku , gdy , oraz gdy dla dowolnego , zachodzi
Tzn. element najmniejszy zbioru , to taki element , który jest mniejszy lub równy (względem rozpatrywanego porządku) od każdego elementu tego zbioru .
Analogicznie możemy zdefiniować element największy zbioru , jako taki element , który jest większy lub równy od każdego elementu tego zbioru, tzn. dla dowolnego zachodzi
Niech zbiory uporządkowane. Porządek nazywamy rozszerzeniem porządku , gdy dla dowolnych spełniony jest warunek:
Twierdzenie:
Niech będzie dowolnym ustalonym zbiorem. Niech będzie pewnym zbiorem złożonym z liniowych porządków( samych relacji) określonych na pewnych podzbiorach , takim, że dla dowolnych dwóch liniowych porządków w jeden jest rozszerzeniem drugiego, to wtedy dla relacji , zachodzi i jest liniowym porządkiem na tym zbiorze.
Tzn. suma rodziny liniowych porządków na podzbiorach , i jeśli wiemy, że dla dowolnych dwóch takich liniowych porządków jeden jest rozszerzeniem drugiego, to wtedy suma rodziny takich liniowych porządków jest liniowym porządkiem na swoim polu.
Dowód (wkrótce).
