Dla dociekliwych

Otóż niech [math]X,Y[/math] będą dowolnymi zbiorami, oraz niech [math]x\in X, y \in Y[/math]. Łatwo zauważyć, że zarówno [math] \left\{x,y\right\}[/math], jak i [math] \left\{x\right\}[/math] są podzbiorami [math] X \cup Y[/math]. Zatem [math] \left\{x,y\right\} \in \mathcal{P} (X \cup Y)[/math] oraz [math] \left\{x\right\} \in \mathcal{P} (X \cup Y)[/math]. Więc [math] \left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\} \subset \mathcal{P} (X \cup Y)[/math], co daje, że [math]\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\}= (x,y) \in \mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)).[/math]

Zauważmy teraz, że dla dowolnych ustalonych dwóch zbiorów [math]X,Y[/math] istnieje dokładnie jeden zbiór [math]X \cup Y[/math], dla zbioru [math]X \cup Y[/math] istnieje jedyny zbiór [math]P\left( X \cup Y\right)[/math], i znowu dla tego zbioru istnieje jedyny zbiór [math]\mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)).[/math] Nasz dowód pokaże, że jeśli [math]x\in X, y\in Y[/math] to [math]\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\}= (x,y) \in \mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)), [/math] co wobec dowolności [math]x,y[/math] będzie oznaczać, że cały iloczyn kartezjański [math]X\times Y[/math] jest zawarty w tym jedynym zbiorze [math]\mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)).[/math] Pozostaje więc wybrać z tego jedynego zbioru (stosując aksjomat wybierania) ten iloczyn kartezjański, te wszystkie pary. Definiujemy więc:

[math] X \times Y=\left\{a\in\mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)) \Bigl| \ \bigvee \limits_{x\in X}\bigvee \limits_{y\in Y} a=(x,y)=\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\} \right\}.[/math]

Wybraliśmy więc z takiego zbioru pary uporządkowane [math]a=(x,y)[/math], gdzie [math]x[/math] jest pewnym elementem zbioru [math]X[/math], [math]y[/math] jest pewnym elementem zbioru [math]Y[/math].