Zbiory uporządkowane: Różnice pomiędzy wersjami
| Linia 10: | Linia 10: | ||
Często oznaczamy relację porządku przez <math>\le</math>( lub symbolami podobnymi np.<math>\preccurlyeq, \sqsubseteq</math>). Dla zbioru uporządkowanego <math>\left( X, \le \right)</math>, dla dowolnego <math>x\in X</math> zachodzi <math>x \le x,</math> bo relacja porządku jest zwrotna. Zatem dla elementów <math>x,y\in X</math>, oznaczamy <math>x<y</math> gdy <math>x \le y</math> i <math>x\neq y,</math> i mówimy, że <math>x</math> jest silnie mniejszy od <math>y.</math> Podobnie dla innych oznaczeń relacji porządku. W zbiorze uporządkowanym <math>\left( X,\le\right)</math>, będziemy czasem pisać <math>y\ge x</math> zamiast <math>x\le y</math>, oraz <math>y>x</math> zamiast <math>x<y.</math> | Często oznaczamy relację porządku przez <math>\le</math>( lub symbolami podobnymi np.<math>\preccurlyeq, \sqsubseteq</math>). Dla zbioru uporządkowanego <math>\left( X, \le \right)</math>, dla dowolnego <math>x\in X</math> zachodzi <math>x \le x,</math> bo relacja porządku jest zwrotna. Zatem dla elementów <math>x,y\in X</math>, oznaczamy <math>x<y</math> gdy <math>x \le y</math> i <math>x\neq y,</math> i mówimy, że <math>x</math> jest silnie mniejszy od <math>y.</math> Podobnie dla innych oznaczeń relacji porządku. W zbiorze uporządkowanym <math>\left( X,\le\right)</math>, będziemy czasem pisać <math>y\ge x</math> zamiast <math>x\le y</math>, oraz <math>y>x</math> zamiast <math>x<y.</math> | ||
| + | |||
| + | Warto zobaczyć jaką postać przyjmują wymagania stawiane zbiorom liniowo uporządkowanym, gdy relację liniowego porządku oznaczymy przez <math>\le</math>, (i gdy będziemy pisać zamiast <math>\left( x,y\right) \in R,</math> będziemy pisać <math>x\left( R\right) y.</math> O zwrotności już pisałem, jako <math>x\le x</math>, dla dowolnego <math>x\in X.</math> Antysymetria przyjmuję postać: jeżeli <math>x\le y</math> i <math>y\le x</math>, to <math>x=y</math>. Przechodniość przyjmuję postać: jeżeli <math>x\le y</math> i <math>y\le z</math>, to <math>x\le z.</math> Spójność zapisujemy jako: dla dowolnych <math>x,y\in X</math> ma zachodzić <math>x\le y</math> lub <math>y\le x</math>. Nietrudno więc zauważyć, że te własności są spełnione w zbiorach liczbowych z naturalnym porządkiem. Nasza definicja zbioru liniowego uporządkowanego jest więc uogólnieniem znanych własności porządkowych na zbiorach liczbowych. Nie zapominajmy jednak, że formalnie jest to zbiór wraz z relacją, która ma dokładnie wymienione własności. | ||
''Niech <math>\left( X, \le \right)</math> będzie zbiorem uporządkowanym. niech <math>A \subset X, a\in X</math>. Element <math>a</math> nazywamy elementem najmniejszym zbioru <math>A</math> względem porządku <math>\le</math>, gdy <math>a\in A</math>, oraz gdy dla dowolnego <math>x\in A</math>, zachodzi <math>a \le x.</math>'' | ''Niech <math>\left( X, \le \right)</math> będzie zbiorem uporządkowanym. niech <math>A \subset X, a\in X</math>. Element <math>a</math> nazywamy elementem najmniejszym zbioru <math>A</math> względem porządku <math>\le</math>, gdy <math>a\in A</math>, oraz gdy dla dowolnego <math>x\in A</math>, zachodzi <math>a \le x.</math>'' | ||
| Linia 16: | Linia 18: | ||
Analogicznie możemy zdefiniować ''element największy zbioru <math>A \subset X</math>, jako taki element <math>a\in A</math>, który jest większy lub równy od każdego elementu tego zbioru, tzn. dla dowolnego <math>x\in A</math> zachodzi <math>x \le a.</math>'' | Analogicznie możemy zdefiniować ''element największy zbioru <math>A \subset X</math>, jako taki element <math>a\in A</math>, który jest większy lub równy od każdego elementu tego zbioru, tzn. dla dowolnego <math>x\in A</math> zachodzi <math>x \le a.</math>'' | ||
| + | [[Plik:Rozszerzenie.JPG|300px|thumb|right| Rozszerzenie porządku]] | ||
| + | ''Niech <math>\left( X, \le _{X}\right) , \left( Y, \le _{Y}\right)</math> zbiory uporządkowane. Porządek <math>\le _{Y}</math> nazywamy rozszerzeniem porządku <math>\le_{X}</math>, gdy dla dowolnych <math>a,b\in X</math> spełniony jest warunek: | ||
| + | |||
| + | <math>a\le _{X}b \Longrightarrow a\le _{Y}b.</math>'' | ||
| − | + | Tzn. jeśli <math>a</math> jest mniejszy ( lub równy) od <math>b</math> względem danego porządku (na <math>X</math>),to tymbardziej musi <math>a</math> być mniejsze(lub równe) od <math>b</math> względem porządku rozszerzającego. Dla liniowych porządków wygląda to tak, że porządek rozszerzający jest szerszy- zobacz ilustrację obok. | |
| − | |||
[[Plik:Liniowe porządki.JPG|300px|thumb|right|Suma liniowych porządków]] | [[Plik:Liniowe porządki.JPG|300px|thumb|right|Suma liniowych porządków]] | ||
'''Twierdzenie:''' | '''Twierdzenie:''' | ||
| Linia 25: | Linia 30: | ||
''Niech <math>X</math> będzie dowolnym ustalonym zbiorem. Niech <math>S</math> będzie pewnym zbiorem złożonym z liniowych porządków( samych relacji) określonych na pewnych podzbiorach <math>X</math>, takim, że dla dowolnych dwóch liniowych porządków w <math>S</math> jeden jest rozszerzeniem drugiego, to wtedy dla relacji <math>\bigcup S</math>, zachodzi <math>\left( \bigcup S\right) _{L}=\left( \bigcup S\right) _{P}</math> i <math>\bigcup S</math> jest liniowym porządkiem na tym zbiorze.'' | ''Niech <math>X</math> będzie dowolnym ustalonym zbiorem. Niech <math>S</math> będzie pewnym zbiorem złożonym z liniowych porządków( samych relacji) określonych na pewnych podzbiorach <math>X</math>, takim, że dla dowolnych dwóch liniowych porządków w <math>S</math> jeden jest rozszerzeniem drugiego, to wtedy dla relacji <math>\bigcup S</math>, zachodzi <math>\left( \bigcup S\right) _{L}=\left( \bigcup S\right) _{P}</math> i <math>\bigcup S</math> jest liniowym porządkiem na tym zbiorze.'' | ||
| − | Tzn. suma rodziny liniowych porządków na podzbiorach <math>X</math>, i jeśli wiemy, że dla dowolnych dwóch takich liniowych porządków jeden jest rozszerzeniem drugiego, to wtedy suma rodziny takich liniowych porządków jest liniowym porządkiem na swoim polu. | + | Tzn. suma rodziny liniowych porządków na podzbiorach <math>X</math>, i jeśli wiemy, że dla dowolnych dwóch takich liniowych porządków jeden jest rozszerzeniem drugiego, to wtedy suma rodziny takich liniowych porządków jest liniowym porządkiem na swoim polu- zobacz ilustrację obok. |
Dowód (wkrótce). | Dowód (wkrótce). | ||
Wersja z 01:59, 26 maj 2018
Zbiorem uporządkowanym (częściowo) nazywamy parę , gdzie jest zbiorem, a jest relacją:
1. Zwrotną, tzn. dla dowolnego zachodzi
2. Antysymetryczną, tzn. spełnia warunek
3. Przechodnią, tzn. spełnia warunek
Jeżeli dodatkowo relacja jest spójna, tzn. dla dowolnych zachodzi lub , to wtedy parę , nazywamy zbiorem liniowo uporządkowanym. Mówimy wtedy, że jest liniowym porządkiem na , oraz że zbiór jest liniowo uporządkowany przez . Podobnie dla zbioru uporządkowanego, relację nazywamy porządkiem (częściowym) na zbiorze
Często oznaczamy relację porządku przez ( lub symbolami podobnymi np.). Dla zbioru uporządkowanego , dla dowolnego zachodzi bo relacja porządku jest zwrotna. Zatem dla elementów , oznaczamy gdy i i mówimy, że jest silnie mniejszy od Podobnie dla innych oznaczeń relacji porządku. W zbiorze uporządkowanym , będziemy czasem pisać zamiast , oraz zamiast
Warto zobaczyć jaką postać przyjmują wymagania stawiane zbiorom liniowo uporządkowanym, gdy relację liniowego porządku oznaczymy przez , (i gdy będziemy pisać zamiast będziemy pisać O zwrotności już pisałem, jako , dla dowolnego Antysymetria przyjmuję postać: jeżeli i , to . Przechodniość przyjmuję postać: jeżeli i , to Spójność zapisujemy jako: dla dowolnych ma zachodzić lub . Nietrudno więc zauważyć, że te własności są spełnione w zbiorach liczbowych z naturalnym porządkiem. Nasza definicja zbioru liniowego uporządkowanego jest więc uogólnieniem znanych własności porządkowych na zbiorach liczbowych. Nie zapominajmy jednak, że formalnie jest to zbiór wraz z relacją, która ma dokładnie wymienione własności.
Niech będzie zbiorem uporządkowanym. niech . Element nazywamy elementem najmniejszym zbioru względem porządku , gdy , oraz gdy dla dowolnego , zachodzi
Tzn. element najmniejszy zbioru , to taki element , który jest mniejszy lub równy (względem rozpatrywanego porządku) od każdego elementu tego zbioru .
Analogicznie możemy zdefiniować element największy zbioru , jako taki element , który jest większy lub równy od każdego elementu tego zbioru, tzn. dla dowolnego zachodzi
Niech zbiory uporządkowane. Porządek nazywamy rozszerzeniem porządku , gdy dla dowolnych spełniony jest warunek:
Tzn. jeśli jest mniejszy ( lub równy) od względem danego porządku (na ),to tymbardziej musi być mniejsze(lub równe) od względem porządku rozszerzającego. Dla liniowych porządków wygląda to tak, że porządek rozszerzający jest szerszy- zobacz ilustrację obok.
Twierdzenie:
Niech będzie dowolnym ustalonym zbiorem. Niech będzie pewnym zbiorem złożonym z liniowych porządków( samych relacji) określonych na pewnych podzbiorach , takim, że dla dowolnych dwóch liniowych porządków w jeden jest rozszerzeniem drugiego, to wtedy dla relacji , zachodzi i jest liniowym porządkiem na tym zbiorze.
Tzn. suma rodziny liniowych porządków na podzbiorach , i jeśli wiemy, że dla dowolnych dwóch takich liniowych porządków jeden jest rozszerzeniem drugiego, to wtedy suma rodziny takich liniowych porządków jest liniowym porządkiem na swoim polu- zobacz ilustrację obok.
Dowód (wkrótce).
