Tekst źródłowy strony Dalsze zagadnienia

Będę tu prezentował dodatkowe, raczej proste zadania( bo były fajne zadania, które zostawiłem na potem). Będą to raczej proste problemy.

Uzasadnimy najpierw, że dla dwóch rodzin zbiorów <math>\mathbb{X}, \mathbb{Y}</math> nie zawsze zachodzi równość zbiorów:

<math>\bigcap\left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}\right)= \bigcap \mathbb{X} \cap  \bigcap \mathbb{Y}.</math>

Jako kontrprzykład dla tej równości połóżmy <math>X=\left\{ 1,2\right\} </math> <math>Y=\left\{ 2,3\right\}</math> oraz <math>\mathbb{X}=\left\{ X\right\}, \mathbb{Y}=\left\{ Y\right\}.</math>

Wtedy <math>\bigcap \mathbb{X}=X</math>, podobnie    <math>\bigcap \mathbb{Y}=Y</math>, zatem  <math>\bigcap \mathbb{X} \cap  \bigcap \mathbb{Y}=X\cap Y=\left\{ 2\right\}.</math>

Podczas gdy <math>\mathbb{X} \cap \mathbb{Y}=\emptyset</math>, bo zbiory <math>X\neq Y</math>, zatem <math>\bigcap\left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}\right)=\bigcap\emptyset=\emptyset\neq\left\{ 2\right\}</math>, równość więc nie jest prawdą.

Zastanówmy się nad inkluzjami dla rodziny zbiorów <math>\mathbb{X}</math>: <math>\bigcup\mathbb{X}\subset \mathbb{X}</math>, oraz <math>\bigcup\mathbb{X}\supset \mathbb{X}.</math> Otóż, wbrew pozorom, ta ostatnia inkluzja jest o wiele bardziej nietypowa. Pierwsza inkluzja mówi, że elementy <math>\bigcup\mathbb{X}</math> są elementami <math>\mathbb{X}</math>, czyli elementy elementów <math>\mathbb{X}</math> (zbiorów rodziny <math>\mathbb{X}</math>) są elementami <math>\mathbb{X}</math>- są to tzw. zbiory(rodziny zbiorów) przechodnie. Równoważnie to możemy określić warunkiem <math>\mathbb{X}\subset P\left( \mathbb{X}\right)</math>, bo ten warunek oznacza, że zbiory rodziny <math>\mathbb{X}</math> są elementami <math>P\left( \mathbb{X}\right)</math>, czyli są podzbiorami <math>\mathbb{X}</math>, w związku z czym ich elementy są elementami <math>\mathbb{X}</math>, czyli to oznacza, że elementy elementów <math>\mathbb{X}</math> są elementami <math>\mathbb{X}</math>. O takich zbiorach przechodnich będziemy jeszcze pisać.

Natomiast inkluzja <math>\bigcup\mathbb{X}\supset \mathbb{X}.</math> jest o wiele dziwniejsza. Mówi ona, że zbiory rodziny <math>\mathbb{X}</math> są elementami <math>\bigcup\mathbb{X}</math>, a więc elementów tych zbiorów. A to przecież elementy zbiorów rodziny <math>\mathbb{X}</math> są elementami odpowiednich zbiorów. Jednak taka dziwaczna inkluzja jest możliwa. Niech <math>\mathbb{X}</math> będzie dowolną rodziną induktywną (tzn. spełniającą aksjomat nieskończoności). Wykażemy, że wtedy <math>\bigcup\mathbb{X}\supset \mathbb{X}.</math>

Niech <math>A\in\mathbb{X}.</math> Pokażemy, że <math>A\in\bigcup\mathbb{X}.</math> Ponieważ <math>\mathbb{X}</math> jest zbiorem induktywnym, to <math>A'=A\cup\left\{ A\right\}\in\mathbb{X}</math>, ponieważ <math>A\in A\cup\left\{ A\right\}\in\mathbb{X}</math>, to <math>A\in\bigcup\mathbb{X}. \square</math>

Zastanówmy się teraz uważnie nad pytaniem: Czy istnieje więcej niż jeden zbiór(rodzina zbiorów) <math>\mathbb{X}</math> taka, że <math>\bigcap \mathbb{X} = \bigcup \mathbb{X}</math>?

Otóż wiemy, że dla dowolnego zbioru <math>X</math> mamy <math>\bigcap \left\{X\right\}=X=\bigcup \left\{X\right\},</math> a więc istnieje przynajmniej jedna taka rodzina zbiorów. Biorąc teraz dwa różne zbiory <math>A,B</math>, zauważamy, że wtedy rodziny zbiorów <math>\left\{A\right\}, \left\{B\right\}</math> są różne (bo zbiory <math>A,B</math> są różne). Zgodnie z przytoczonym faktem <math>\bigcap \left\{A\right\}=A=\bigcup \left\{A\right\},</math> oraz <math>\bigcap \left\{B\right\}=B=\bigcup \left\{B\right\}</math>, wobec czego istnieją co najmniej dwie rodziny zbiorów <math>\mathbb{X}</math>, takie,że iloczyn rodziny <math>\mathbb{X}</math> jest równy sumie rodziny <math>\mathbb{X}</math>.

Dla dowolnego zbioru <math>X</math>, mamy: <math>\bigcup P\left( X\right)=X.</math>

Dowód: Aby pokazać, że <math>\bigcup P\left( X\right)=X,</math> pokazujemy dwa zawierania.

Inkluzja w prawo: Suma rodziny wszystkich podzbiorów <math>X</math>, a więc suma szczególnej rodziny podzbiorów <math>X</math> musi być podzbiorem <math>X</math>.

Inkluzja w lewo: Wiemy,że suma dowolnej rodziny zbiorów jest nadzbiorem każdego zbioru tej rodziny, więc suma rodziny wszystkich podzbiorów <math>X</math> jest nadzbiorem <math>X</math> (bo <math>X \subset X</math>, a więc <math>X\in P\left( X\right)</math>).

A więc <math>\bigcup P\left( X\right)=X.\square</math>

Dla dowolnej rodziny zbiorów <math>\mathbb{X}</math> mamy:

<math>\mathbb{X}\subset P\left( \bigcup \mathbb{X}\right).</math>

Dowód: Niech <math>A\in\mathbb{X}</math>. Skoro <math>A</math> jest zbiorem z rodziny <math>\mathbb{X}</math>, to z własności sumy <math>A</math> jest podzbiorem sumy tej rodziny, czyli <math>A\subset \bigcup \mathbb{X}.</math> To z kolei oznacza, że <math>A\in P\left( \bigcup \mathbb{X}\right)</math>, i z dowolności <math>A</math>, otrzymujemy <math>\mathbb{X}\subset P\left( \bigcup \mathbb{X}\right).\square</math>

Jednak inkluzja w drugą stronę nie zawsze zachodzi. Kontrprzykładem będzie rodzina <math>\mathbb{X}= \{\{\emptyset\}\}.</math> Wtedy:

<math>\mathcal{P}(\bigcup\{\{\emptyset\}\} \  \ )= \mathcal{P}(\{\emptyset\}) = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\neq \{\{\emptyset\}\}=\mathbb{X},</math> bo <math>\emptyset\notin \{\{\emptyset\}\}</math>, bo <math>\emptyset\neq \{\emptyset\}.</math> Zatem tutaj <math>\mathbb{X}\neq P\left( \bigcup \mathbb{X}\right).</math>


Jeśli mamy funkcję <math>f:X\rightarrow X</math>, to element <math>x\in X</math> nazywamy punktem stałym funkcji <math>f</math>, gdy <math>f(x)=x.</math>


Niech X będzie zbiorem. Rozważmy funkcję  <math>f:P\left( P\left( X\right) \right) \rightarrow P\left( P\left( X\right) \right),</math> określoną jako: 

<math>f\left( x\right)=\left\{  \bigcup x, \bigcap x\right\} .</math>

Czyli funkcja f dostaje jako argument rodzinę podzbiorów X, i przypisuje jej rodzinę złożoną z dwóch zbiorów- zbioru będącego sumą tej rodziny oraz zbioru będącego iloczynem tej rodziny.

Podamy kilka przykładów punktów stałych dla tej funkcji.


Dla dowolnego zbioru <math>A\subset X</math>, mamy <math>f\left( \left\{ A\right\} \right)=\left\{  \bigcup \left\{ A\right\} , \bigcap \left\{ A\right\} \right\}=\left\{ A,A\right\} =\left\{ A\right\} .</math> A więc rodzina <math>{A}</math> jest punktem stałym. Kolejne przykłady:

Dla dowolnego zbioru <math>A \subset X</math>, mamy <math>f\left( \left\{ A,\emptyset \right\} \right)=\left\{  \bigcup\left\{ A,\emptyset \right\},   \bigcap\left\{ A,\emptyset \right\}  \right\}=\left\{ A \cup \emptyset, A \cap \emptyset  \right\}=\left\{ A,\emptyset \right\}.</math>

Dla dowolnych zbiorów <math>A,B \subset X</math>, takich, że <math>A \subset B</math> mamy: <math>f\left( \left\{ A,B\right\} \right)=\left\{ A \cup B, A \cap B\right\}=\left\{ B,A\right\}=\left\{ A,B\right\},</math> gdzie przedostatnia równość pochodzi z założenia, że <math>A \subset B.</math>